引入非线性恢复力的涡激振动发电系统动力学行为研究

刘丽兰; 任航; 李佳佳; 王甲一; 汪甡; 吴子英

doi:10.21656/1000-0887.450090

引入非线性恢复力的涡激振动发电系统动力学行为研究

doi: 10.21656/1000-0887.450090

西安理工大学机械与精密仪器工程学院，西安 710048

基金项目:

国家自然科学基金 11572243

详细信息

通讯作者:
刘丽兰(1979—)，女，副教授，博士，硕士生导师(通讯作者. E-mail: liulilans@163.com)

中图分类号: O313
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出版历程
- 收稿日期: 2024-04-08
- 修回日期: 2024-08-25
- 刊出日期: 2025-04-01

Research on the Dynamic Behaviors of the Vortex Induced Vibration Power Generation System Under Nonlinear Restoring Forces

School of Mechanical and Precision Instrument Engineering, Xi'an University of Technology, Xi'an 710048, P.R.China

摘要

摘要: 利用线性弹簧斜向布置的几何非线性产生非线性恢复力，提出了引入非线性恢复力的水下涡激振动(VIV)发电系统. 该系统通过单向轴承、齿轮齿条机构、增速箱和转子发电机，将钝体横向往复运动转变为发电机的单向旋转运动. 建立了综合考虑流-固-电耦合的水下涡激振动发电系统动力学方程，利用非线性振动理论，获得了钝体非线性振动的静态平衡点分岔和不同稳态运动的区间，重点研究了PF-2SN和2PF-2SN两种静态分岔情况下钝体的非线性动力学行为，获得了不同流速下钝体振动的Poincaré映射、相图和幅频图，分析了钝体在单周期小幅运动、大幅混沌运动和准周期大幅运动等运动模式下的振动行为及运动规律，并计算了在钝体处于不同稳态运动时的发电机功率. 结果表明：在PF-2SN分岔方式中，系统处于二稳态运动时的振动和发电具有明显优势，平均振幅比为2.18、发电功率最大值为24.45 W. 而在2PF-2SN分岔方式中，系统处于三稳态运动时的振动和发电更具优势，平均振幅比为1.98、发电功率最大值为18.32 W.
- 非线性恢复力 /
- 静态/动态分岔 /
- 涡激振动 /
- 俘获 /
- 发电
Abstract: An underwater vortex-induced vibration power generation system under nonlinear restoring forces was proposed. The nonlinear restoring force was generated by means of the geometrical nonlinearity of linear springs arranged obliquely. The lateral reciprocating motion of the oscillator was transformed into a unidirectional rotary motion of the generator by dint of unidirectional bearings and gear-rack mechanisms, a booster box and a rotor generator. The dynamic flow-structure-electricity coupling equations for the vortex-induced vibration power generation system were established. Then the static equilibrium point bifurcation of the nonlinear vibration of the oscillator and the ranges of different stable state motions were obtained under the nonlinear vibration theory. The nonlinear dynamic behaviors of the oscillator under the conditions of PF-2SN and 2PF-2SN bifurcations were studied mainly. The bifurcation graphs, phase graphs and Poincaré mappings of the system were achieved. The vibration behaviors and motion laws of the oscillator under the conditions of single-period small motion, large chaos motion and quasi-periodic large motion were analyzed. Then, the generation power values of the generator for different stable state motions of the oscillator were also calculated. The results show that, in the PF-2SN bifurcation mode, the system has obvious advantages in vibration and power generation in the bi-stable motion, with an average amplitude ratio of 2.18 and a maximum power of 24.45 W. While in the 2PF-2SN bifurcation mode, the vibration and power generation of the system are more superior in the tri-stable motion, with an average amplitude ratio of 1.98 and a maximum power generation of 18.32 W.
- nonlinear restoring force /
- static/dynamic bifurcation /
- vortex induced vibration /
- capture /
- power generation

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0. 引言

涡激振动(VIV)是一种复杂的流固耦合自然现象，在涡激振动研究的起步阶段，学者们主要是以预测和控制共振为主要目标，以防止涡振所造成的破坏现象发生，特别是对于那些庞大的建筑物、桥梁以及海洋工程结构^[1-2]. 随着新能源技术的蓬勃发展和电子器件的广泛应用，学者们开始大胆尝试将涡激振动所产生的能量与无线电子元器件供电相结合，利用涡激振动从环境中提取能量，并将其转化为电能，以实现振动能量的利用. 这一革新不仅有望减少对传统能源的依赖，还有助于绿色能源的发展，助力推动“双碳”目标^[3-5].

在涡激振动能量利用方面，国内外学者近年来多侧重于利用涡激振动进行流体动能俘获方面的研究. 如：岳玉帅^[6]设计了一种新型单自由度的圆柱涡激振动装置，分析了其阻尼比和质量比以及两者组合的质量阻尼比对涡激振动特性和俘能效率的影响，研究发现，增加阻尼比会减小圆柱涡激振动的锁定范围和振幅，而增大质量比会提高能量的捕获效率. 通过拟合质量阻尼比可以确定最优参数，以提高圆柱涡激振动海流能发电装置的效率. 李俊^[7]提出了多钝体涡激振动方案，对该多钝体阵列布置进行了优化，通过遗传算法对该模型进行了计算分析，结果表明：优化后的布置增强了阵列中各装置之间的相互作用, 并显著提高了多圆柱涡激振动俘能装置阵列的发电效率. 白旭等^[8]提出了非线性振子方程与结构动力学方程的耦合双自由度涡激振动模型，分析了不同质量比以及阻尼比对系统涡激振动响应的影响，研究发现质量比越大振幅越小. 陈芝贇^[9]对具有线性振子和非线性振子的涡激振动储能系统进行了实验研究，研究发现，非线性振子比线性振子收集的功率及效率有了很大的提升. 及春宁等^[10]提出了一种附加旋转圆柱涡激振动发电装置，通过数值模拟对能量利用效率随阻尼比、附加圆柱的无量纲转速以及方位角的变化规律进行了分析，研究得到了能量利用效率的最优参数组合. Shan等^[11]设计了一种基于涡激振动原理的水下磁力非线性压电能量收集器，通过改变磁体的相对位置，磁力非线性的等效刚度会发生显着变化，能量收集装置在磁力的作用下表现出硬化行为和软化行为，提高了该装置的发电性能. 结果分析表明，硬刚度系统的电压从9.43 V提高到10.31 V，频带拓宽36.8%，高流量时效率更高，而软刚度系统的初始振动速度降低. Zhang等^[12]对具有非线性刚度支撑的圆柱双自由度涡激振动进行了数值研究，对振子在2个振动方向上的振幅和频率响应进行了分析. 结果表明，圆柱体的振动响应根据非线性强度可分为2部分：低非线性强度范围(0≤λ≤4)和高非线性强度范围(4＜λ≤10). 在低非线性强度(0≤λ≤4)下获得了2S、P+S和2P的涡旋脱落模式，振动频率随流速的增加而单调上升，并且在低非线性强度下的频率响应中可以观察到突然上升，这是由于振动模式的转变. 而在高非线性强度(4＜λ≤10)下只能观察到2S模式. Liu等^[13]提出了一种双自由度海洋能量收集系统，可同时从潮汐流和近海风中提取能量. 与传统的单自度能量收集器相比，该系统表现出更高的转换功率. Fang等^[14]提出了一种单稳态软化的涡激振动能量收集器, 首次研究了利用磁吸引力的单稳态软化行为的优点. 理论和实验发现，单稳态软化可以拓宽工作风速范围，同时降低峰值能量输出. Bibo等^[15]设计了一种新型多稳态非线性压电俘能装置，通过调整靠近钝体尖端的2个磁体之间的距离来控制磁体的强度. 研究比较了具有不同形状势能函数的几种能量俘获装置的性能表现，结果显示，具备非线性回复力的三稳态系统在性能上胜过双稳态系统和线性系统. Huynh等^[16]从理论和实验2个方面深入研究了双稳态非线性刚度和硬化刚度对涡激振动换能器性能的影响. 他们的研究发现，双稳态刚度能够使系统在低速水流下更加高效运行，而硬化刚度则扩大了系统在高速水流下的工作范围. 高鸣源等^[17]设计了1个具有多稳态特性的电磁式振动俘能系统，并通过实验揭示了该系统的丰富非线性行为. 他们观察到系统呈现出动态分岔、势能阱逃逸，以及无法预测的混沌运动等复杂特征. 值得注意的是，该系统不断出现新的稳定状态，势能在不同状态之间跃迁，展现出高度复杂和多样化的非线性动力学特性. Zhang等^[18]对多个截面形状钝体(三角形、正方形、六边形、八边形、24边形和圆形)的涡激振动展开研究，结果表明：圆柱的响应最强，当处于Re=4.6×10⁴时，圆柱的最大振幅为0.078 m，最大转换功率为4.6 W，最大能量转换效率为34.5%.

通过以上对非线性涡激振动能量俘获的研究发现，非线性系统比线性系统拥有更宽的工作区间和更高的振动幅值. 因此，为了高效俘获水下流体动能，本文设计了一种新型非线性水下涡激振动俘能装置，利用线性弹簧产生的几何非线性，采用斜向布置线性弹簧的方式获得非线性恢复力，替代经典涡激振动能量发电装置中支撑钝体的线性弹簧产生的线性恢复力，将线性振动系统中的单稳态振动行为扩展为多稳态振动行为，使得涡激振动发电装置能够在较低流速下实现跃迁，产生更大的有效工作带宽, 也可以导致更大的振幅响应. 通过正向和反向单向轴承的应用将钝体的双向往复运动转化为发电机的单向旋转运动，从而提高能量俘获功率.

深入研究系统非线性动力学行为，有助于指导系统结构参数设计，尤其是优化线性弹簧的安装尺寸，并确定在不同流速下系统俘获能量最大时适合的稳态运动形式，增大钝体振动幅值，从而提高系统的发电性能. 总的来说，振动系统的非线性动力学行为是保证高效率发电的重要前提. 因此，为了在不同洋流流速下均能高效地俘获能量，本文着重对流致涡激振动下的钝体非线性振动行为及影响俘获功率的系统结构参数进行了分析，建立了总体流-固-电控制方程，获得了非线性系统Poincaré映射及振动相图，从非线性动力学的角度研究了钝体的非线性振动行为变化规律.

1. 涡激振动发电系统结构及非线性恢复力

引入非线性恢复力的水下涡激振动发电装置及具体部件组成如图 1所示. 该装置主体由圆柱钝体、线性弹簧、传动机构、发电机和固定支架组成. 在水流的作用下，圆柱钝体在垂直于来流方向发生上下往复振动，利用与钝体相连的齿轮齿条机构以及正向/逆向工作的单向轴承，将钝体上下往复运动转变为驱动发动机单向转动的旋转运动，实现了流体动能到电能的转换.

图 1 引入非线性恢复力的涡激振动发电装置

注为了解释图中的颜色，读者可以参考本文的电子网页版本，后同.

Figure 1. The vortex-induced vibration power generator with nonlinear restoring forces

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为了提高涡激振动的共振范围，使钝体产生显著的大幅振动，在钝体的两端对称地斜向安装2个相同的线性弹簧，如图 2所示. 钝体在y向振动方向上的非线性恢复力可以通过弹簧的几何非线性来实现.

图 2 非线性恢复力模型

Figure 2. Model of nonlinear restoring force

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根据几何关系，圆柱钝体在横向(y方向)所受到的弹簧力可表示为

$F_{\text {nonl }}(y)=2 K\left(2 y-L_{\mathrm{s}}\left(\frac{y+b}{\sqrt{(y+b)^{2}+a^{2}}}+\frac{y-b}{\sqrt{(y-b)^{2}+a^{2}}}\right)\right),$

(1)

其中，L_s为弹簧原长，a为弹簧的水平安装长度，b为弹簧的竖直安装长度，K为线性弹簧的刚度，y为振子在垂直于来流方向的位移. 对式(1)进行积分后，可以得到对应的非线性势能函数，即

$U(y)=\int F_{\text {nonl }}(y) \mathrm{d} y=2 K\left(y^{2}-L_{\mathrm{s}}\left(\sqrt{a^{2}+(y+b)^{2}}+\sqrt{a^{2}+(y-b)^{2}}\right)\right) .$

(2)

2. 涡激振动发电系统建模

2.1 系统流-固耦合动力学建模

钝体振动的力学模型如图 3所示，稳定来流在流经钝体时，钝体受到水流力激励的作用产生横向往复振动.

图 3 流-固耦合力学模型

Figure 3. The mechanical model of fluid-structure interaction

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圆柱钝体在水中横向往复振动过程中存在典型的流-固耦合振动现象，本文采用Van der Pol尾流振子方程描述钝体中的尾流运动^[19]，即

$\ddot{q}+\varepsilon \mathit{\Omega}_{\mathrm{f}}\left(q^{2}-1\right) \dot{q}+\mathit{\Omega}_{\mathrm{f}}^{2} q=\frac{A}{D} \ddot{q} ,$

(3)

其中， $q=2 \frac{C_{\mathrm{L}}}{C_{\mathrm{L} 0}}$ 为尾流振子无量纲参数，ε为Van der Pol小参数，A为结构对流体的耦合动力参数， $C_{\mathrm{L}}$ 为流体对结构的瞬时升力系数， $C_{\mathrm{L} 0}$ 为对应的静态圆柱体横向升力幅值， $\mathit{\Omega}_{\mathrm{f}}=2 \mathsf{π} \frac{S r u}{D}$ 为漩涡脱落角频率^[20]，u为流体的流速，D为刚性圆柱体的外径，Sr为Strouhal数.

根据Newton第二定律，钝体流-固耦合的动力学方程为

$\left\{\begin{array}{l} \left(m_{\mathrm{s}}+m_{\mathrm{a}}\right) \ddot{y}+\left(c_{\mathrm{s}}+c_{\mathrm{f}}\right) \dot{y}+F_{\text {nonl }}(y)=F(q), \\ \ddot{q}+\varepsilon \mathit{\Omega}_{\mathrm{f}}\left(q^{2}-1\right) \dot{q}+\mathit{\Omega}_{\mathrm{f}}^{2} q=\frac{A}{D} \ddot{y}, \end{array}\right.$

(4)

式中， $m_{\mathrm{s}}$ 为圆柱体质量； $m_{\mathrm{a}}=C_{\mathrm{m}} \rho \mathsf{π} D^{2} L / 4$ 为流体附加质量， $C_{\mathrm{m}}$ 为附加质量系数； $\rho$ 为流体密度； $c_{\mathrm{s}}$ 为结构阻尼， $c_{\mathrm{f}}=\gamma \mathit{\Omega}_{\mathrm{f}} \rho D^{2}$ 为流体阻尼^[21], $F(q)=C_{\mathrm{L} 0} L \rho u^{2} D q / 4$ 为水流升力， $L$ 为针体长度.

2.2 系统流-固-电综合动力学建模

钝体运动传递至发电机的力学模型如图 4所示. 由于洋流的激励作用，钝体振子产生横向往复运动，运动通过左、右齿条传递到左、右齿轮上. 齿轮通过单向轴承将旋转运动传递到传动轴上，再经过联轴器、增速箱和飞轮最终传递给发电机，进而实现发电. 根据图 4，可以建立发电机转子的动力学方程为

$\left\{\begin{array}{l} m_{\mathrm{s}} \ddot{y}+T_{j} / r=F_{v / d}, \\ I_{\mathrm{p} j} \ddot{\theta}_{\mathrm{p} j}=T_{j}-T_{\mathrm{c} j}, \\ \left(I_{\mathrm{z}}+I_{\mathrm{b}}+n_{\mathrm{b}}^{2} I_{\mathrm{g}}+n_{\mathrm{b}}^{2} I_{\mathrm{f}}\right) \ddot{\theta}_{\mathrm{b}}=T_{\mathrm{c} j}-T_{\mathrm{g}}, \end{array}\right.$

(5)

图 4 机械传动及发电装置力学模型

Figure 4. The mechanical model for the transmission and power generation system

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式中， $r$ 为齿轮半径， $F_{v / d}$ 为振子作用在发电转子系统的外力， $n_{\mathrm{b}}$ 为齿轮增速箱传动比， $T_{c j}, T_{j}(j=1, 2), T_{g}$ 分别为单向轴承上的扭矩、齿轮上的转矩和感应电磁转矩， $\ddot{\theta}_{\mathrm{p} j}(j=1, 2)$ 和 $\ddot{\theta}_{\mathrm{b}}$ 分别为齿轮的角加速度和传动轴的角加速度， $I_{z}, I_{\mathrm{b}}, I_{\mathrm{g}}, I_{\mathrm{f}}$ 和 $I_{\mathrm{p} j}(j=1, 2)$ 分别为联轴器、齿轮箱、发电机、飞轮和齿轮的转动惯量. 其中感应电磁转矩 $T_{\mathrm{g}}$ 可以表示为转矩系数和外部电流的乘积^[22]：

$T_{\mathrm{g}}=K_{\mathrm{t}} i_{\mathrm{g}}=K_{\mathrm{t}} \cdot \frac{V_{\mathrm{g}}}{R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{o}}}=K_{\mathrm{t}} \cdot \frac{K_{\mathrm{g}} \dot{\theta}_{\mathrm{g}}}{R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{o}}}=\frac{n_{\mathrm{b}} K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{g}} \dot{\theta}_{\mathrm{b}}}{R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{o}}},$

(6)

式中， $i_{\mathrm{g}}$ 为外部电流， $V_{\mathrm{g}}$ 为电动势电压， $K_{\mathrm{t}}$ 为转矩系数， $\dot{\theta}_{\mathrm{b}}$ 为传动轴的转速， $K_{\mathrm{g}}$ 为反电动势电压系数， $R_{\mathrm{o}}$ 和 $R_{\mathrm{i}}$ 分别为外电阻和内电阻.

在钝体横向振动过程中，齿轮齿条机构将钝体的往复运动转化为驱动发电机转动的单向旋转运动，钝体振动速度的变化直接导致传送给发电机的旋转运动动力不断变化，此时会出现2种工作状态：①钝体上下运动转化后的单向旋转运动速度大于发电机的旋转速度，此时钝体振动系统与后续的发电系统之间处于结合状态；②钝体上下运动转化后的单向旋转运动速度小于发电机的旋转速度，由于单向轴承仅在输入转速大于输出转速时才工作，此时钝体的振动能量不能借助齿轮齿条机构和单向轴承将能量送至发电机，钝体振动系统与后续的发电系统之间处于脱离的工作状态.

① 结合状态

当其中1个小齿轮的角速度大于传动轴的角速度时，即 $\dot{\theta}_{\mathrm{p}} \geqslant \dot{\theta}_{\mathrm{b}}$ 时，齿轮与传动轴处于结合状态，小齿轮和传动轴在齿条的运动下一起旋转. 根据Newton第二定律，涡激振动发电系统的流-固-电动力学方程为

$\left\{\begin{array}{l} \left(m_{\mathrm{s}}+m_{\mathrm{a}}\right) \ddot{y}+\left(c_{\mathrm{s}}+c_{\mathrm{f}}\right) \dot{y}+F_{\text {nonl }}(y)=F(q)-F_{d / v} , \\ \ddot{q}+\varepsilon \mathit{\Omega}_{\mathrm{f}}\left(q^{2}-1\right) \dot{q}+\mathit{\Omega}_{\mathrm{f}}^{2} q=\frac{A}{D} \ddot{y} , \\ J \cdot \ddot{\theta}_{\mathrm{b}}+C_{\mathrm{s}} \cdot \dot{\theta}_{\mathrm{b}}=F_{v / d} \cdot r, \end{array}\right.$

(7)

式中， $F_{d / v}$ 为发电转子系统对振子的反作用力，与 $F_{v / d}$ 为大小相同、方向相反的作用力； $C_{\mathrm{s}}=\left(K_{\mathrm{t}} \cdot K_{\mathrm{g}} \cdot n_{\mathrm{b}}^{2}\right) /\left(R_{\mathrm{i}}\right.$ $\left.+R_{\mathrm{o}}\right)$ 为等效阻尼系数， $J=I_{\mathrm{c}}+I_{\mathrm{b}}+n_{\mathrm{b}}^{2} I_{\mathrm{f}}+n_{\mathrm{b}}^{2} I_{\mathrm{g}}+I_{\mathrm{p} j}+m_{\mathrm{s}} r^{2}$ 为总转动惯量，由于 $I_{\mathrm{c}}, I_{\mathrm{b}}, I_{\mathrm{p} j}$ 较小，而传动比较大，因此可以将 $I_{\mathrm{c}}, I_{\mathrm{b}}, I_{\mathrm{p} j}$ 忽略， $J \approx n_{\mathrm{b}}^{2} I_{\mathrm{f}}+n_{\mathrm{b}}^{2} I_{\mathrm{g}}+m_{\mathrm{s}} r^{2}$ .

② 脱离状态

当其中1个小齿轮的角速度小于传动轴的角速度时，即 $\dot{\theta}_{\mathrm{p}} < \dot{\theta}_{\mathrm{b}}$ 时，齿轮与传动轴处于脱离状态，传动轴和发电机处于转动自由衰减状态，因此涡激振动发电系统的流-固-电动力学方程为

$\left\{\begin{array}{l} \left(m_{\mathrm{s}}+m_{\mathrm{a}}\right) \ddot{y}+\left(c_{\mathrm{s}}+c_{\mathrm{f}}\right) \dot{y}+F_{\text {nonl }}(y)=F(q) , \\ \ddot{q}+\varepsilon \mathit{\Omega}_{\mathrm{f}}\left(q^{2}-1\right) \dot{q}+\mathit{\Omega}_{\mathrm{f}}^{2} q=\frac{A}{D} \ddot{y} , \\ J \cdot \ddot{\theta}_{\mathrm{b}}+C_{\mathrm{s}} \cdot \dot{\theta}_{\mathrm{b}}=0. \end{array}\right.$

(8)

2.3 发电机发电功率

发电机中的转子旋转时，切割磁场中的磁力线而产生的感应电动势可以表示为

$E_{\mathrm{m}}=K_{\mathrm{g}} \dot{\theta}_{\mathrm{g}}=K_{\mathrm{g}} n_{\mathrm{b}} \dot{\theta}_{\mathrm{b}} .$

(9)

根据感应电动势 $E_{\mathrm{m}}$ 进而可以得出感应电流 $I_{\mathrm{m}}$ ：

$I_{\mathrm{m}}=\frac{E_{\mathrm{m}}}{R_{\mathrm{total}}}=\frac{K_{\mathrm{g}} n_{\mathrm{b}} \dot{\theta}_{\mathrm{b}}}{R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{o}}} .$

(10)

可以得到发电机发电功率 $P_{\text {gen }}$ 为

$P_{\mathrm{gen}}=I_{\mathrm{m}}^{2} R_{\mathrm{o}}=\frac{K_{\mathrm{g}}^{2} n_{\mathrm{b}}^{2} \dot{\theta}_{\mathrm{b}}^{2}}{\left(R_{\mathrm{o}}+R_{\mathrm{i}}\right)^{2}} \cdot R_{\mathrm{o}}.$

(11)

3. 平衡点静态分岔分析

令 $x_{1}=y, x_{2}=\dot{y}, x_{3}=q, x_{4}=\dot{q}, x_{5}=\dot{\theta}_{\mathrm{b}}$ ，则由式(5)和(6)得到系统在结合和脱离2种情况下的状态方程为

$\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1} \\ \dot{x}_{2} \\ \dot{x}_{3} \\ \dot{x}_{4} \\ \dot{x}_{5} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} x_{2} \\ \frac{F\left(x_{3}\right)-F_{d / v}-\left(c_{\mathrm{s}}+c_{\mathrm{f}}\right) x_{2}-F_{\text {nonl }}\left(x_{1}\right)}{m_{\mathrm{s}}+m_{\mathrm{a}}} \\ x_{4} \\ \frac{A\left(F\left(x_{3}\right)-F_{d / v}-\left(c_{\mathrm{s}}+c_{\mathrm{f}}\right) x_{2}-F_{\text {nonl }}\left(x_{1}\right)\right)}{D\left(m_{\mathrm{s}}+m_{\mathrm{a}}\right)}-\varepsilon \mathit{\Omega}_{\mathrm{f}}\left(x_{3}^{2}-1\right) x_{4}-\mathit{\Omega}_{\mathrm{f}}^{2} x_{3} \\ \frac{F_{v / d} \cdot r-C_{\mathrm{s}} \cdot x_{5}}{J}\left(\dot{\theta}_{P} \geqslant \dot{\theta}_{\mathrm{b}}\right) \quad \text { or } \frac{-C_{\mathrm{s}} x_{5}}{J}\left(\dot{\theta}_{P} <\dot{\theta}_{\mathrm{b}}\right) \end{array}\right] .$

(12)

由式(12)可以求得系统的平衡点集合P，并且求得结果相同，即

$P=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}\right) \mid F_{\text {nonl }}\left(x_{1}\right)=0, x_{2}=0, x_{3}=0, x_{4}=0, x_{5}=0, x_{1} \in \mathbf{R}\right\},$

(13)

其中

$F_{\text {nonl }}\left(x_{1}\right)=2 K\left(2 x_{1}-L_{\mathrm{s}}\left(\frac{x_{1}+b}{\sqrt{\left(x_{1}+b\right)^{2}+a^{2}}}+\frac{x_{1}-b}{\sqrt{\left(x_{1}-b\right)^{2}+a^{2}}}\right)\right).$

(14)

静态分岔研究可以直观地观察该系统平衡状态的数目及其稳定性的突变情况. 为了更直观显示某一参数变化过程中，系统势能函数变化以及系统稳态特性变化的情况，可以通过平衡点的静态分岔来分析出系统平衡点数目和稳定性的变化特性. 从式(14)可知，非线性系统的平衡点主要受 $K, L_{\mathrm{s}}, a, b$ 这4个参数影响，并且这4个参数相互独立. 由于参数 $K, L_{\mathrm{s}}$ 在选定弹簧的同时就已经确定其数值大小，故可以保持参数 $K, L_{\mathrm{s}}$ 不变，分析参数a和b变化对系统的静态分岔情况的影响，系统结构及物理参数如表 1所示.

表 1 系统结构及物理参数表

Table 1. Structural and physical parameters of the system

parameter	symbol	value	parameter	symbol	value
oscillator mass	m_s/kg	50	spring length	L_s/m	0.4
structural damping	c_s/(N·s·m^－1)	20	seawater density	ρ/(kg·m^－3)	1 040
additional quality factor	C_m^[21]	1	oscillator length	L/m	1.6
viscous force coefficient	γ^[21]	0.8	oscillator diameter	D/m	0.3
fluid-structure coupling parameter	A^[20]	12	Strouhal number	Sr^[21]	0.2
(left/right) gear radius	r/m	0.05	total moment of inertia	J/(kg·m²)	0.625
booster ratio	n_b	3.3	Van der Pol parameter	ε^[21]	0.3
generator internal resistance	R_a/Ω	0.25	flywheel moment of inertia	I_f/(kg·m²)	0.04
generator external resistance	R_L/Ω	20	generator moment of inertia	I_g/(kg·m²)	0.01
voltage constant	K_g/(V·s·rad^－1)	0.26	torque coefficient	K_t/(N·m·A^－1)	0.45
equivalent damping coefficient	C_s^[22]	0.057 2	static cylinder lift amplitude	C_L0^[23]	0.3

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3.1 平衡点随参数b的变化

当弹簧安装长度a=0.1 m，0.15 m，0.25 m和0.35 m时，系统在(b，y)空间内的平衡点静态分岔图如图 5所示，图中实线和虚线分别表示稳定解和不稳定解.

图 5 不同安装长度a下的系统静态分岔图

Figure 5. Static bifurcation diagrams of the system under different installation lengths a

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从图 5中可以看出：①当a=0.1 m时，如图 5(a)所示，在b=0.241 m处，系统有2个对称的鞍形(SN)分岔，在b=0.12 m处有1个叉形(PF)分岔；当0.01 m≤b＜0.124 m时，系统有2个稳定平衡解和1个不稳定的零平衡解，系统表现为双稳态运动；当0.124 m≤b＜0.241 m时，系统有3个稳定平衡解和2个不稳定的平衡解，系统表现为三稳态运动；当b≥0.241 m时，系统只有1个稳定的零平衡解，系统表现为单稳态运动. ②当a=0.15 m时，如图 5(b)所示，随着a的增大，PF分岔点右移，2个对称的SN分岔左移，导致二稳态和单稳态区间变大，三稳态区间减小. ③当a=0.25 m时，如图 5(c)所示，随着参数a进一步增大，可以看出2个SN分岔再次向左移动，PF分岔点也向右移动，三稳态区间减小到0.151 m≤b＜0.156 m，此时三稳态区域变得非常小. ④当a=0.35 m时，如图 5(d)所示，当a增大到0.35 m时，2个SN分岔消失，只剩下PF分岔点，此时系统只有二稳态和单稳态.

3.2 平衡点随参数a的变化

为了进一步分析系统的分岔特性随参数a的变化情况，当b=0.1 m，0.15 m，0.25 m和0.35 m时系统在(a，y)空间内的系统平衡点静态解分岔图如图 6所示.

图 6 不同安装长度b下的系统静态分岔图

Figure 6. Static bifurcation diagrams of the system under different installation lengths b

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从图 6中可以看出：①当b=0.1 m时，如图 6(a)所示，有2个叉形分岔点，右边命名为PF1，左边第二个叉形分岔点，令其为PF2，此时PF1与PF2将参数a划分成为3个区间，分别为：a≤0.043 m是三稳态区间；0.043 m＜a≤0.374 m是二稳态区间；a>0.374 m是单稳态区间. ②当b=0.15 m时，如图 6(b)所示，在a=0.266 m处出现2个对称的SN分岔，此时系统有2个叉形分岔点PF1和PF2以及2个对称的SN分岔，他们将参数a分成4个区间：三稳态区间(a≤0.175 m)、二稳态区间(0.175 m＜a≤0.26 m)、三稳态区间(0.26 m＜a≤0.266 m)、单稳态区间(a>0.266 m). ③当b=0.25 m时，如图 6(c)所示，此时叉形分岔点消失，只有2个对称的SN分岔点，系统只被划分成2个区间，当a＜0.09 m时，系统存在3个稳态解和2个非稳定解；当a≥0.09 m时，系统为只有1个稳定解的单稳态状态. ④当b=0.35 m时，如图 6(d)所示，三稳态范围更小，而单稳态的区域范围更大.

4. 非线性系统的动态分岔及振动特性分析

4.1 PF-2SN分岔方式下的动态分岔响应及发电功率

根据图 5(a)中a=0.1 m时的系统静态分岔特性，从中选取b=0.1 m，0.2 m，0.25 m，对这3组参数进行钝体振动的动力学行为分析，b的3种取值分别对应发电系统的双稳态、三稳态和单稳态振动模式. 流速u的取值范围0.1~2 m/s，步长为0.005 m/s，步数为380次. 在3种不同参数b下系统钝体位移y与洋流流速u的分岔图如图 7所示.

图 7 不同弹簧安装长度下的钝体位移与洋流流速的分岔图

Figure 7. Bifurcation plots of blunt body displacements vs. flow speeds under different installation lengths of springs

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从图 7(a)可以看出，在发电系统处于双稳态振动模式下，随着流速的增加，发电系统的钝体经历了单周期运动、混沌运动、3周期运动、准周期与混沌之间的运动、2周期运动和单周期运动；图 7(b)中三稳态振动模式下，钝体也经历了单周期运动、混沌运动、3周期运动、准周期运动、2周期运动和单周期运动. 相比之下，对于图 7(c)的单稳态振动而言，振动模式相对简单，均为单周期运动.

4.1.1 当a=0.1 m和b=0.1 m时，不同流速下钝体振动的相图、Poincaré映射和幅频图

为了直观分析图 7(a)中钝体的运动行为，下面分别给出了洋流流速u为0.5 m/s，0.8 m/s，1.1 m/s，1.7 m/s，1.85 m/s和1.92 m/s下系统的相图、Poincaré映射和幅频图，如图 8所示.

图 8 不同流速下的钝体非线性振动响应(a=0.1 m，b=0.1 m)

Figure 8. Nonlinear vibration responses of the blunt body at different flow speeds(a=0.1 m, b=0.1 m)

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图 8(a)中，在流速u=0.5 m/s时钝体仅在1个平衡点上做小幅单周期运动，振幅很小，仅为0.16 m；图 8(b)中，当流速增到u=0.8 m/s时，钝体进入了第一个混沌窗口，系统做大幅度的阱间混沌运动，Poincaré映射为无数个小点组成，并且幅频图显示连续的宽频，表明系统从小幅度周期运动变为大幅度混沌运动，此时的振幅为0.64 m；图 8(c)中，当流速增到u=1.1 m/s时，钝体从大幅混沌运动转变为3周期的阱间运动，Poincaré映射有3个独立频率点，此时的振动幅值相对较大，振幅为0.67 m；图 8(d)中，当流速增到u=1.7 m/s时，钝体仍为大幅度阱间运动，振幅为0.67 m，但与之前不同的是，此时的频谱图同时含有大量的连续谱以及1个明显的离散谱，可以将此时运动状态判定为介于准周期与混沌之间的运动；图 8(e)中，当流速增到u=1.85 m/s时，钝体突变为2周期的阱内周期小幅运动，且Poincaré映射有2个独立频率点. 随着流速的继续增大, 即u=1.92 m/s, 钝体振动振动由2周期的阱内运动变为单周期的阱内小幅运动. 结合图 8总结图 7(a)中钝体的运动模式，如表 2所示.

表 2 钝体运动状态汇总(a=0.1 m，b=0.1 m)

Table 2. Summary of the motion of the oscillator(a=0.1 m, b=0.1 m)

flow speed	motion of the oscillator	cross potential wells (yes or no)
u＜0.6 m/s	small single-cycle motion in the potential well	no
0.6 m/s≤u＜0.99 m/s	large chaotic motion between potential wells	yes
0.99 m/s≤u＜1.56 m/s	large 3-cycle motion between potential wells	yes
1.56 m/s≤u＜1.77 m/s	large quasiperiodic and chaotic motion between potential wells	yes
1.77 m/s≤u＜1.92 m/s	small 2-cycle motion in the potential well	no
u≥1.92 m/s	small single-cycle motion in the potential well	no

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4.1.2 当a=0.1 m和b=0.2 m时，不同流速下钝体振动的相图、Poincaré映射和幅频图

为了直观分析图 7(b)中钝体的运动行为，下面也分别给出了流速u为0.2 m/s，0.6 m/s，1 m/s，1.05 m/s，1.25 m/s和1.4 m/s下系统的相图、Poincaré映射和幅频图，如图 9所示.

图 9 不同流速下的钝体非线性振动响应(a=0.1 m，b=0.2 m)

Figure 9. Nonlinear vibration responses of the blunt body at different flow speeds(a=0.1 m, b=0.2 m)

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图 9(a)中，当流速u=0.2 m/s时，钝体仅在2个平衡点间做大幅单周期运动；图 9(b)中，当流速增到u=0.6 m/s时，钝体表现为无序和不规则的大幅度阱间运动，Poincaré映射为无数个小点组成，并且幅频图显示连续的宽频，表明系统从大幅度周期运动变为大幅度混沌运动；图 9(c)中，当流速增到u=1 m/s时，钝体从大幅混沌运动转变为3周期的阱间运动，Poincaré映射有3个独立点，此时的振动幅值相对较大；图 9(d)中，当流速增到u=1.05 m/s时，Poincaré映射为1条复杂曲线，钝体进入准周期运动状态，仍为大幅度阱间运动；图 9(e)中，当流速增到u=1.25 m/s时，钝体突变为2周期的阱内周期小幅运动，且Poincaré映射有2个独立点；图 9(f)中，当流速增到u=1.4 m/s时，钝体由2周期变为单周期的阱内周期小幅运动，且Poincaré映射有1个独立点. 结合图 9，总结图 7(b)中钝体的运动模式，如表 3所示.

表 3 钝体运动模式汇总(a=0.1 m，b=0.2 m)

Table 3. Summary of motion modes of the oscillator(a=0.1 m, b=0.2 m)

flow speed	motion of the oscillator	cross potential wells (yes or no)
u＜0.36 m/s	small single-cycle motion in the potential well	no
0.36≤u＜0.85 m/s	large chaotic motion between potential wells	yes
0.85≤u＜1.01 m/s	3-cycle large-scale periodic motion between potential wells	yes
1.01≤u＜1.12 m/s	large quasi-periodic motion between potential wells	yes
1.12≤u＜1.34 m/s	small 2-cycle motion in the potential well	no
u≥1.34 m/s	small single-cycle motion in the potential well	no

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4.1.3 当a=0.1 m和b=0.25 m时，不同流速下钝体振动的相图、Poincaré映射和幅频图

为了直观分析图 7(c)中钝体的运动行为，下面也分别给出了流速u为0.2 m/s，0.95 m/s和2 m/s下系统的相图、Poincaré映射和幅频图，如图 10所示.

图 10 不同流速下的钝体非线性振动响应(a=0.1 m，b=0.25 m)

Figure 10. Nonlinear vibration responses of the blunt body at different flow speeds(a=0.1 m, b=0.25 m)

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图 10(a)中，当流速u=0.2 m/s时，钝体做很微小的振动，振幅不到0.004 m；图 10(b)中，当流速增到u=0.95 m/s时，单稳态系统的位移响应达到了最大值为0.18 m；图 10(c)中，当流速增到u=2 m/s时，钝体振动幅值为0.12 m. 3种流速下，Poincaré映射均为1个点. 对比三稳态和双稳态振动模式，单稳态振动模式下钝体振动幅值较小，直接影响发电功率.

总的来看，当非线性涡激振动发电系统处于PF-2SN分岔方式中，系统在双稳态和三稳态时的非线性动力学行为很相似，都是依次经历了上述6个运动阶段. 通过表 2和表 3可以看出，三稳态和双稳态的大幅度振动区间分别为0.36 m/s≤u≤1.12 m/s和0.6 m/s≤u≤1.77 m/s. 双稳态在u=0.6 m/s时可以进入大幅度的振动区域，而三稳态则在u=0.36 m/s时就可以进行大幅度振动，三稳态的起振流速明显低于双稳态. 虽然三稳态的起振流速明显低于双稳态，但双稳态的大幅度跨阱振动区间要大于三稳态的大幅度跨阱振动区间.

4.1.4 发电功率分析

基于上述系统在PF-2SN分岔方式下的振动行为，现分析系统的振幅比和发电性能. 图 11(a)给出了不同稳态特性下钝体振动的振幅比，图 11(b)给出了不同稳态特性下发电机的发电功率. 研究流固耦合现象时，采用无量纲处理的振幅比A^*来简化描述钝体的振动情况，即

$A^{*}=\frac{A_{\max }}{D},$

(15)

图 11 不同稳态下的钝体振幅比和发电功率对比(PF-2SN分岔)

Figure 11. Vibration amplitude ratios of the oscillator and harvesting power values under different stable states (PF-2SN bifurcation)

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式中A_max为振动响应最大振幅.

从图 11(a)可知，3种稳态特性下的振幅比随流速变化的规律很相似，都是随流速增大呈现先增大后减小的趋势，而在二稳态和三稳态特性下，锁定区间内振幅比趋于平稳，然后随着流速增大致使脱离锁定区间时振幅比突然下降. 二稳态系统的阱间运动范围比三稳态要宽，并且系统处于二稳态特性下的振幅比要比三稳态大，二稳态系统的阱间平均振幅比为2.18，而三稳态系统的阱间平均振幅比为1.68，因此PF-2SN分岔方式下二稳态系统更有利于俘获流体能量.

从图 11(b)可知，在洋流流速u=0.1~2 m/s工况下，随着u不断增大，P_gen不断递增，在脱离共振区间后功率会先发生骤降，接着又会不断缓慢提升，这是因为虽然振子振幅减小，但是振动频率会随着u的增加而增大，因此发电功率会逐渐提升. 在此工况下，二稳态下的发电功率要明显高于三稳态下，二稳态最大发电功率为24.45 W，三稳态最大发电功率为10.56 W，而单稳态最大发电功率仅为4.15 W.

4.2 2PF-2SN分岔方式中系统的动力学响应分析

参考图 6(b)中b=0.15 m时的系统静态分岔特性，从中选取a=0.1 m，0.2 m，0.28 m，对这3组参数进行动力学响应分析，a的3种取值分别对应发电系统的三稳态、双稳态和单稳态振动模式. u的取值范围为0.1~2 m/s，步长为0.005 m/s，步数为380次，在3种不同参数a取值下钝体位移y与洋流流速u的分岔图如图 12所示.

图 12 不同弹簧安装长度下的钝体位移与洋流流速u的分岔图

Figure 12. Bifurcation plots of blunt body displacements vs. current flow velocity u for different spring installation lengths

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从图 12(a)可以看出，在发电系统处于三稳态振动模式下，随着流速的增加，发电系统的钝体经历了单周期运动、混沌运动、3周期运动、6周期运动、3周期运动、准周期与混沌之间的运动、2周期运动和单周期运动；图 12(b)中双稳态振动模式下，钝体也经历了单周期运动、准周期运动、混沌运动、5周期运动和单周期运动. 相比之下，对于图 12(c)的单稳态振动而言，振动模式相对简单，均为单周期运动.

4.2.1 当a=0.1 m和b=0.15 m时，不同流速下典型相图、Poincaré映射和幅频图

为了进一步直观分析图 12(a)中钝体的运动特性，下面分别给出了水流流速u为0.2 m/s，0.5 m/s，1.1 m/s，1.13 m/s，1.18 m/s，1.3 m/s，1.5 m/s和1.7 m/s下系统的相图、Poincaré映射和幅频图，如图 13所示.

图 13 不同流速下的钝体非线性振动响应(a=0.1 m，b=0.15 m)

Figure 13. Nonlinear vibration responses of the blunt body for different flow speeds(a=0.1 m, b=0.15 m)

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图 13(a)中，当流速u=0.2 m/s时，钝体呈现为小幅度阱内单周期小幅阱内运动，位移幅值很小，仅为0.01 m，幅频图为1个单频波峰；图 13(b)中，当流速增到u=0.5 m/s时，钝体表现为无序和不规则的大幅度阱间运动，Poincaré映射为无数个小点组成，并且幅频图显示连续的宽频，表明系统从大幅度周期运动变为大幅度混沌运动；图 13(c)中，当流速增到u=1.1 m/s时，Poincaré映射上有3条曲线，这是一种完全不同的非线性现象，根据参考文献[24]可以判断此时系统呈现大幅度阱间准3周期运动，Poincaré映射出现了3堆规则分布的散点；图 13(d)中，当流速增到u=1.13 m/s时，钝体从大幅准周期运动转变为6周期的阱间运动，Poincaré映射有6个独立点，此时的振动幅值较大；图 13(e)中，当流速增到u=1.18 m/s时，Poincaré截面有3个独立点，钝体从6周期进入3周期运动状态，仍为大幅度阱间运动；图 13(f)中，当流速增到u=1.3 m/s时，Poincaré映射为1条近似封闭曲线，从频谱图可以看出，频谱没有明显的特征，既有很宽区域的连续谱，同时也有1个主峰，因此可以将此运动看作为介于混沌和准周期之间的一种运动状态；图 13(g)中，当流速增到u=1.5 m/s时，钝体从准2周期大幅运动变为2周期小幅阱内运动；然后随着流速再增加，如图 13(h)所示，当u=1.7 m/s时，钝体从2周期阱内小幅运动变为阱内单周期小幅运动. 结合图 13，总结出图 12(a)钝体的运动模式如表 4所示.

表 4 钝体运动模式汇总(a=0.1 m，b=0.15 m)

Table 4. Summary of motion modes of the oscillator (a=0.1 m, b=0.15 m)

flow speed	motion of the oscillator	cross potential wells (yes or no)
u＜0.48 m/s	small single-cycle motion in the potential well	no
0.48 m/s≤u＜0.93 m/s	large chaotic motion between potential wells	yes
0.93 m/s≤u＜1.13 m/s	quasi 3-cycle large-scale motion between potential wells	yes
1.13 m/s≤u＜1.15 m/s	large 6-cycle motion between potential wells	yes
1.15 m/s≤u＜1.26 m/s	large 3-cycle motion between potential wells	yes
1.26 m/s≤u＜1.46 m/s	large quasiperiodic and chaotic motion between potential wells	yes
1.46 m/s≤u＜1.61 m/s	small 2-cycle motion in the potential well	no
u≥1.61 m/s	small single-cycle motion in the potential well	no

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4.2.2 当a=0.2 m和b=0.15 m时，不同流速下典型相图、Poincaré映射和幅频图

同样，为了分析图 12(b)情况下钝体的运动行为，下面分别给出了流速u为0.2 m/s，0.5 m/s，0.8 m/s，0.95 m/s，1 m/s，1.02 m/s，1.1 m/s和1.3 m/s下钝体的相图、Poincaré映射和幅频图，如图 14所示.

图 14 不同流速下的钝体非线性振动响应(a=0.2 m，b=0.15 m)

Figure 14. 14 Nonlinear vibration responses of the blunt body at different flow speeds(a=0.2 m, b=0.15 m)

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图 14(a)中在流速u=0.2 m/s时，钝体呈现为小幅度阱内单周期小幅阱内运动，位移幅值很小，仅为0.01 m，幅频图为单频峰曲线；图 14(b)中，当流速增到u=0.5 m/s时，钝体表现为单周期规则性大幅度阱间运动，Poincaré映射为1个点，幅频图显示为单频为主的波峰，表明系统从小幅度周期运动变为大幅度周期运动；图 14(c)中，当流速增到u=0.8 m/s时，Poincaré映射上有1条规则性离散点组成的曲线，可以判断此时系统呈现大幅度阱间准周期运动，幅频图显示为1个幅值较大的频率波峰以及多个幅值较小的多频波峰；图 14(d)中，当流速增到u=0.95 m/s时，钝体从大幅准周期运动转变为5周期的阱间运动，Poincaré映射有5个独立点，此时的振动幅值较大；图 14(e)中，当流速增到u=1 m/s时，Poincaré映射显示为1条规则性离散点组成的曲线，钝体从5周期进入准周期运动状态，仍为大幅度阱间运动；图 14(f)中，当流速增到u=1.02 m/s时，钝体由大幅准周期运动变为准周期小幅运动，但主振动频率从0.5 Hz向1.0 Hz靠近，逐渐增大；图 14(g)中，当流速增到u=1.1 m/s时，钝体从准周期大幅运动变为2周期小幅阱内运动，Poincaré映射2个离散点；图 14(h)中，当流速增到u=1.3 m/s时，钝体从2周期小幅运动变为单周期小幅阱内运动. 不同流速激励下，钝体的振动模式出现了多种非线性现象. 结合图 14，总结图 12(b)中钝体的运动模式如表 5所示.

表 5 钝体运动模式汇总(a=0.2 m，b=0.15 m)

Table 5. Summary of motion modes of the oscillator (a=0.2 m, b=0.15 m)

flow speed	motion of the oscillator	cross potential wells (yes or no)
u＜0.28 m/s	small single-cycle motion in the potential well	no
0.28 m/s≤u＜0.72 m/s	large single-cycle motion between potential wells	yes
0.72 m/s≤u＜0.92 m/s	large quasi-periodic motion between potential wells	yes
0.92 m/s≤u＜0.96 m/s	large 5-cycle motion between potential wells	yes
0.96 m/s≤u＜1.01 m/s	large quasi-periodic motion between potential wells	yes
1.01 m/s≤u＜1.03 m/s	small quasi-periodic motion in the potential well	no
1.03 m/s≤u＜1.11 m/s	small 2-cycle motion in the potential well	no
u≥1.11 m/s	small single-cycle motion in the potential well	no

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对于图 12(c)，在a=0.28 m和b=0.15 m时钝体振动的Poincaré映射为单点，为单周期振动模式，不同流速下钝体振动的典型相图、Poincaré截面和幅频图可参考图 7(c)和图 10的分析结果，鉴于篇幅在此不再赘述.

4.2.3 发电功率分析

基于上述系统在2PF-2SN分岔方式下的振动行为，分析系统的振幅比和发电性能. 图 15(a)给出了不同稳态特性下钝体振动的振幅比，图 15(b)给出了不同稳态特性下发电机的发电功率.

图 15 不同稳态下的钝体振幅比和发电功率对比(2PF-2SN分岔)

Figure 15. Vibration amplitude ratios of the oscillator and harvesting power values under different stable states (2PF-2SN bifurcation)

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从图 15(a)可以看出，3种稳态特性下的振幅比随流速变化呈现先增大然后减小的趋势. 比较双稳态和三稳态特性可以发现，在流速较低时，系统只能在势阱内作阱内运动，此时不能有效地俘获能量，当流速增大到一定程度，振幅比有1个突变，表明系统做大幅度的阱间运动. 三稳态系统的阱间运动比二稳态系统要宽，并且三稳态系统的阱间振幅比更大，三稳态系统的阱间平均振幅比为1.98，而二稳态系统的阱间平均振幅比为1.53，相比之下三稳态系统更有利于俘获流体能量.

从图 15(b)可以看出，系统在不同的稳态特性下，发电功率的变化均表现出先增大然后减小的趋势. 系统处于三稳态特性时，俘获功率随流速的增加而增大，并且到临近脱离锁定区间时，即u=1.4 m/s时，俘获功率达到峰值18.32 W. 同理，系统处于二稳态特性时的俘获功率最大为7.54 W，而单稳态最大俘获功率仅为4.92 W. 在2PF-2SN分岔方式中，系统处于三稳态特性要比二稳态特性和单稳态特性的发电功率高.

5. 结论

为了充分利用丰富的流体动能资源，实现水下设备或无线传感器网络的可持续性自供电，本文提出了引入非线性恢复力的涡激振动发电系统，并开展了相关的非线性动力学行为研究，主要结论如下：

1) 线性弹簧斜向布置的几何非线性可在垂直钝体方向上产生非线性恢复力，从而使发电装置中钝体的线性振动转变为非线性振动. 钝体横向的往复运动可以通过齿轮齿条机构及单向轴承转变成为驱动发电机单向转动的旋转运动. 由于钝体横向运动转化后的旋转速度与发电机的转速存在差异，单向轴承在工作过程中存在结合和脱离2种模式.

2) 根据流-固-电耦合动力学建模及系统平衡点静态分岔分析可知，线性弹簧的安装尺寸参数a，b对系统的非线性动力学行为有很大影响. 在不同安装尺寸参数a，b下，系统会呈现出单稳态、双稳态以及三稳态的不同稳态特性，且不同参数a，b组合下系统存在单PF、2PF、2SN、2PF-2SN、PF-2SN这5种分岔方式.

3) 结合系统振动分岔图、Poincaré截面、相图以及频谱图分析可知，对系统处于PF-2SN与2PF-2SN这2种经典分岔方式中，在不同稳态下的非线性动力学响应展开了深入研究. 通过研究可知，随着洋流流速u的增加，系统出现了阱内单周期小幅运动、阱内2周期小幅运动，以及更有利于发电的阱间运动，包括：阱间大幅混沌运动、阱间3/5/6周期大幅运动、阱间准周期大幅运动、阱间准3周期大幅运动以及更复杂的阱间混沌和准周期之间的大幅运动. 这些系统运动状态的相互转换，展示出流-固-电耦合的非线性涡激振动发电装置存在复杂的非线性振动现象.

4) 通过振幅比分析可知，系统处于PF-2SN分岔方式时，虽然三稳态特性起振流速低，阱间运动的响应速度快，但二稳态特性的共振区间较宽，系统在二稳态特性下的振动和发电方面具有明显优势，平均振幅比为2.18、发电功率最大值为24.45 W. 当系统处于2PF-2SN分岔方式时，虽然钝体在二稳态特性下的起振流速低，但三稳态特性下的共振区间却较宽. 系统在三稳态特性下的振动和发电方面更具优势，平均振幅比为1.98、发电功率最大值为18.32 W.

本文在发电系统非线性振动的基本结构和动态特性分析方面取得的成果为下一步非线性振动系统的混沌程度量化和稳定性分析奠定了坚实的基础. 更加准确的运动类型判断和更加复杂的运动分析需要计算Lyapunov指数，因此，我们在未来工作中，将结合Lyapunov指数法进行深入探讨和研究.

图 1 引入非线性恢复力的涡激振动发电装置

注为了解释图中的颜色，读者可以参考本文的电子网页版本，后同.

Figure 1. The vortex-induced vibration power generator with nonlinear restoring forces

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图 2 非线性恢复力模型

Figure 2. Model of nonlinear restoring force

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图 3 流-固耦合力学模型

Figure 3. The mechanical model of fluid-structure interaction

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图 4 机械传动及发电装置力学模型

Figure 4. The mechanical model for the transmission and power generation system

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图 5 不同安装长度a下的系统静态分岔图

Figure 5. Static bifurcation diagrams of the system under different installation lengths a

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图 6 不同安装长度b下的系统静态分岔图

Figure 6. Static bifurcation diagrams of the system under different installation lengths b

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图 7 不同弹簧安装长度下的钝体位移与洋流流速的分岔图

Figure 7. Bifurcation plots of blunt body displacements vs. flow speeds under different installation lengths of springs

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图 8 不同流速下的钝体非线性振动响应(a=0.1 m，b=0.1 m)

Figure 8. Nonlinear vibration responses of the blunt body at different flow speeds(a=0.1 m, b=0.1 m)

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图 9 不同流速下的钝体非线性振动响应(a=0.1 m，b=0.2 m)

Figure 9. Nonlinear vibration responses of the blunt body at different flow speeds(a=0.1 m, b=0.2 m)

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图 10 不同流速下的钝体非线性振动响应(a=0.1 m，b=0.25 m)

Figure 10. Nonlinear vibration responses of the blunt body at different flow speeds(a=0.1 m, b=0.25 m)

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图 11 不同稳态下的钝体振幅比和发电功率对比(PF-2SN分岔)

Figure 11. Vibration amplitude ratios of the oscillator and harvesting power values under different stable states (PF-2SN bifurcation)

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图 12 不同弹簧安装长度下的钝体位移与洋流流速u的分岔图

Figure 12. Bifurcation plots of blunt body displacements vs. current flow velocity u for different spring installation lengths

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图 13 不同流速下的钝体非线性振动响应(a=0.1 m，b=0.15 m)

Figure 13. Nonlinear vibration responses of the blunt body for different flow speeds(a=0.1 m, b=0.15 m)

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图 14 不同流速下的钝体非线性振动响应(a=0.2 m，b=0.15 m)

Figure 14. 14 Nonlinear vibration responses of the blunt body at different flow speeds(a=0.2 m, b=0.15 m)

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图 15 不同稳态下的钝体振幅比和发电功率对比(2PF-2SN分岔)

Figure 15. Vibration amplitude ratios of the oscillator and harvesting power values under different stable states (2PF-2SN bifurcation)

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表 1 系统结构及物理参数表

Table 1. Structural and physical parameters of the system

parameter	symbol	value	parameter	symbol	value
oscillator mass	m_s/kg	50	spring length	L_s/m	0.4
structural damping	c_s/(N·s·m^－1)	20	seawater density	ρ/(kg·m^－3)	1 040
additional quality factor	C_m^[21]	1	oscillator length	L/m	1.6
viscous force coefficient	γ^[21]	0.8	oscillator diameter	D/m	0.3
fluid-structure coupling parameter	A^[20]	12	Strouhal number	Sr^[21]	0.2
(left/right) gear radius	r/m	0.05	total moment of inertia	J/(kg·m²)	0.625
booster ratio	n_b	3.3	Van der Pol parameter	ε^[21]	0.3
generator internal resistance	R_a/Ω	0.25	flywheel moment of inertia	I_f/(kg·m²)	0.04
generator external resistance	R_L/Ω	20	generator moment of inertia	I_g/(kg·m²)	0.01
voltage constant	K_g/(V·s·rad^－1)	0.26	torque coefficient	K_t/(N·m·A^－1)	0.45
equivalent damping coefficient	C_s^[22]	0.057 2	static cylinder lift amplitude	C_L0^[23]	0.3

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表 2 钝体运动状态汇总(a=0.1 m，b=0.1 m)

Table 2. Summary of the motion of the oscillator(a=0.1 m, b=0.1 m)

flow speed	motion of the oscillator	cross potential wells (yes or no)
u＜0.6 m/s	small single-cycle motion in the potential well	no
0.6 m/s≤u＜0.99 m/s	large chaotic motion between potential wells	yes
0.99 m/s≤u＜1.56 m/s	large 3-cycle motion between potential wells	yes
1.56 m/s≤u＜1.77 m/s	large quasiperiodic and chaotic motion between potential wells	yes
1.77 m/s≤u＜1.92 m/s	small 2-cycle motion in the potential well	no
u≥1.92 m/s	small single-cycle motion in the potential well	no

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表 3 钝体运动模式汇总(a=0.1 m，b=0.2 m)

Table 3. Summary of motion modes of the oscillator(a=0.1 m, b=0.2 m)

flow speed	motion of the oscillator	cross potential wells (yes or no)
u＜0.36 m/s	small single-cycle motion in the potential well	no
0.36≤u＜0.85 m/s	large chaotic motion between potential wells	yes
0.85≤u＜1.01 m/s	3-cycle large-scale periodic motion between potential wells	yes
1.01≤u＜1.12 m/s	large quasi-periodic motion between potential wells	yes
1.12≤u＜1.34 m/s	small 2-cycle motion in the potential well	no
u≥1.34 m/s	small single-cycle motion in the potential well	no

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表 4 钝体运动模式汇总(a=0.1 m，b=0.15 m)

Table 4. Summary of motion modes of the oscillator (a=0.1 m, b=0.15 m)

flow speed	motion of the oscillator	cross potential wells (yes or no)
u＜0.48 m/s	small single-cycle motion in the potential well	no
0.48 m/s≤u＜0.93 m/s	large chaotic motion between potential wells	yes
0.93 m/s≤u＜1.13 m/s	quasi 3-cycle large-scale motion between potential wells	yes
1.13 m/s≤u＜1.15 m/s	large 6-cycle motion between potential wells	yes
1.15 m/s≤u＜1.26 m/s	large 3-cycle motion between potential wells	yes
1.26 m/s≤u＜1.46 m/s	large quasiperiodic and chaotic motion between potential wells	yes
1.46 m/s≤u＜1.61 m/s	small 2-cycle motion in the potential well	no
u≥1.61 m/s	small single-cycle motion in the potential well	no

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表 5 钝体运动模式汇总(a=0.2 m，b=0.15 m)

Table 5. Summary of motion modes of the oscillator (a=0.2 m, b=0.15 m)

flow speed	motion of the oscillator	cross potential wells (yes or no)
u＜0.28 m/s	small single-cycle motion in the potential well	no
0.28 m/s≤u＜0.72 m/s	large single-cycle motion between potential wells	yes
0.72 m/s≤u＜0.92 m/s	large quasi-periodic motion between potential wells	yes
0.92 m/s≤u＜0.96 m/s	large 5-cycle motion between potential wells	yes
0.96 m/s≤u＜1.01 m/s	large quasi-periodic motion between potential wells	yes
1.01 m/s≤u＜1.03 m/s	small quasi-periodic motion in the potential well	no
1.03 m/s≤u＜1.11 m/s	small 2-cycle motion in the potential well	no
u≥1.11 m/s	small single-cycle motion in the potential well	no

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