设置惯容系统的非对称大跨悬挂结构风振响应分析

田翀; 谭志强; 卢兴龙; 庞迎波; 覃媛媛; 葛新广

doi:10.21656/1000-0887.450078

设置惯容系统的非对称大跨悬挂结构风振响应分析

doi: 10.21656/1000-0887.450078

1.
中建科工集团有限公司，广东深圳 518000
2.
广西职业师范学院土木建筑工程学院，南宁 530007
3.
柳州工学院土木建筑学院, 广西柳州 545004

基金项目:

国家自然科学基金 51868007

详细信息

作者简介:
田翀(1985—)，男，高级工程师，硕士(E-mail: tianchong1110@163.com)

通讯作者:
庞迎波(1978—)，男，副教授，硕士(通讯作者. E-mail: gxopalo@163.com)

中图分类号: TU317; TU352.1
计量
- 文章访问数: 73
- HTML全文浏览量: 35
- PDF下载量: 14
- 被引次数: 0
出版历程
- 收稿日期: 2024-03-28
- 修回日期: 2025-01-10
- 刊出日期: 2025-03-01

Analysis of Wind Vibration Response of Large-Span Asymmetric Suspension Structures With Series Inerter Dampers

1.
China Construction Science and Industry Corporation Ltd., Shenzhen, Guangdong 518000, P.R.China
2.
School of Civil Engineering and Architecture, Guangxi Vocational Normal University, Nanning 530007, P.R.China
3.
School of Civil Engineering and Architecture, Liuzhou Institute of Technology, Liuzhou, Guangxi 545004, P.R.China

摘要

摘要: 针对非对称大跨悬挂结构双向随机风振响应显著的问题，提出了一种利用惯容系统来抑制结构振动的策略，并针对减振体系随机风振响应分析方法复杂的现状，提出了一种简明分析法. 首先，建立了顺风向脉动激励下结构水平和竖向耦合振动的动力学方程，借助有限元分析技术获得了大跨度悬挂结构的实模态动力参数，并基于实模态理论重构了减振体系的动力方程. 其次，基于复模态法和虚拟激励法，获得了大跨度悬挂结构的位移、层间位移和惯容系统出力等响应量频域统一解，并基于功率谱的二次式分解法获得了上述响应量0阶、2阶和4阶谱矩和方差简明封闭解. 最后，利用算例验证了所提封闭解的正确性，并基于此研究了惯容系统参数对抑制悬挂结构双向风振动的特征. 研究表明，大跨悬挂结构的悬挂部分水平和竖向振动加速度均显著影响舒适度，工程设计时需要考虑双向振动，设置惯容系统可有效降低双向振动.
- 非对称大跨度悬挂结构 /
- 惯容系统 /
- Davenport风速谱 /
- 功率谱二次式分解法 /
- 封闭解
Abstract: Aimed at the significant problem of bidirectional random wind vibration responses of large-span asymmetric suspension structures, a strategy was proposed to suppress the vibration of large-span suspension structures with series inerter dampers (SIDs) as the energy damping system (EDS). For the complexity of the random wind vibration response analysis method, a concise closed-form solution was presented. Firstly, the dynamic equations for the horizontal and vertical coupled vibrations of the EDS under downwind excitation were established, and the finite element dynamic analysis technology was applied to obtain the real modal dynamic parameters of the large-span suspension structure to reconstruct the dynamic equations for the EDS based on the real modal theory. Secondly, based on the complex mode method and the pseudo-excitation method, the frequency domain unified solutions for the displacements, interlayer displacements and forces of the EDS were obtained. The quadratic decomposition method for the response power spectrum density function was used to obtain concise closed-form solutions for the 0th-, 2nd-, and 4th-order spectral moments and variances of the above responses of the EDS subjected to the Davenport spectrum. Finally, the correctness of the proposed method was verified through a numerical example, and based on this, the characteristics of SIDs in suppressing bidirectional vibrations of suspension structures were studied. The results show that, the horizontal and vertical vibration accelerations of the suspension parts of large-span suspension structures significantly affect vibration serviceability, so that bidirectional vibrations need to be considered in engineering design, and SIDs to reduce the horizontal vibrations can effectively reduce bidirectional vibrations.
- asymmetric large span suspension structure /
- series inerter damper (SID) /
- Davenport spectrum /
- quadratic decomposition method for power spectrum /
- closed-form solution

HTML全文

0. 引言

悬挂结构，顾名思义就是部分结构物(悬挂结构)凸出于竖向结构(主体结构)之外，是指利用吊杆或竖向构件将楼层悬吊在竖向结构之外，具有强烈艺术表现力. 近年来，在大型图书馆^[1]、体育馆^[2]及高层住宅^[3]等建筑结构得到应用. 悬挂结构不同于传统结构，地震动及风振作用下的结构安全尤其重要，为此，学者们针对悬挂结构的动力学性能进行了大量的研究. Goodno等^[4]针对悬挂式高层建筑进行了现场动力学试验，研究表明悬挂结构具有良好的抗震性能. Liu等^[5]研究了悬挂结构的动力稳定性，指出悬挂部分引起结构重心偏移导致稳定性低于传统结构，并提出了设置阻尼器在降低结构动力响应后可有效提高悬挂结构的整体稳定性. Chen等^[6]研究了随机地震动激励下非对称悬挂结构的动力响应特性，指出悬挂部分的竖向振动较为显著. 以上研究主要考虑地震对悬挂结构的影响，而实际上风激励对建筑的影响不容忽视. 为了更好地进行结构布置和突出建筑美学，实际工程会采用一侧设置悬挂结构，形成了非对称悬挂结构，其力学性能更加复杂；水平向动力荷载会使悬挑结构产生水平振动的同时产生竖向振动，属于典型的双向耦合运动，而现有的悬挂结构的动力特性研究只考虑结构的水平运动. Tian等^[7]研究了顺风向脉动风荷载作用下非对称悬挂结构的风振响应特性，指出悬挂结构具有减振性能，但悬挂部分双向振动的加速度均较大，舒适度不足. 上述研究表明，悬挂结构在水平风荷载作用下，悬挂部分水平及竖向振动明显，有必要引入控制装置来抑制其振动.

随机激励下的结构风振响应分析有Monte-Carlo法^[8]、时域法和频域法等^[9-11]. Monte-Carlo法应用时，是将风振激励功率谱密度函数按照特定方法生成系列时程曲线，然后利用动力学理论获得结构基于各时程激励下的响应量时程曲线，最后利用统计学方法获得结构响应量方差，是分析风荷载作用下结构响应分析的重要方法^{[10, 12]}. 从本质上说，该方法是最准确的，但所生成的时程曲线受功率谱截断圆频率影响较大，且响应量的计算量异常大，不利于实际工程应用. 时域法中结构响应的协方差表示为风激励协方差与结构脉冲函数的二重积分，而现行规范中风荷载主要采用Davenport谱，为无理式功率谱，没有协方差表达式，故时域法对风速谱做近似处理后才能应用^[13]，近似处理则会导致分析误差问题. 频域法应用时，结构响应的功率谱可表示为风激励功率谱与结构响应量频响函数模值平方的乘积，具有简洁的代数关系，有着广泛的工程应用，然而响应的方差或者谱矩的计算需要对响应功率谱进行数值积分，存在计效率和精度的问题^{[10, 14]}. 近年来，葛新广等^{[9-10, 15]}针对现有频域法的不足之处，提出了随机激励下线性结构响应量分析的封闭解法.

惯容系统是一种新型被动控制装置^[16]，可通过特定机制在不改变装置物理质量的前提下产生数千倍的惯容系数，而惯容系数越大，惯容系统减震效果越显著^[17]. 本文针对大跨非对称悬挂结构双向随机风振响应显著的问题，提出利用串联型惯容系统与悬挂结构组成耗能系统来抑制大跨度悬挂结构振动的策略，并针对耗能体系随机响应分析方法复杂的现状，提出了一种简明封闭解法. 首先基于D’Alembert原理建立了顺风向激励下，耗能系统水平和竖向耦合振动的动力学方程，利用有限元动力分析技术，对大跨度结构进行建模并进行动力分析，可易于获得大跨度悬挂结构的实模态振型、自振圆频率和节点集中质量，并基于实模态理论重构了耗能体系的动力方程. 其次，基于复模态法和虚拟激励法，获得了大跨度悬挂结构的节点位移、速度、加速度和惯容系统出力等响应量的频域统一解，并基于功率谱的二次式分解法^{[9, 18]}获得了上述响应量0阶、2阶和4阶谱矩和方差的简明封闭解.

1. 设置惯容系统的大跨悬挂结构风振动方程的建立

悬挂结构在顺风向水平风荷载作用下，整个结构体系将产生水平和竖向振动. 虽然悬挂结构自身具有一定的减振性能，但当悬臂跨度较大时，悬臂部分的双向振动依然显著. 为了抑制风致振动，可在结构层间设置惯容系统阻尼装置. 集中质量法是结构动力学分析的重要方法，应用时需要对结构体系进行离散化，可便于利用有限元技术开展动力分析，图 1为设置惯容系统的悬挂结构基于集中质量法的力学计算简图；图 2为串联型惯容系统的构造图.

图 1 设置惯容系统的大跨悬挂结构力学简图

Figure 1. The diagram of the large-span suspension structure with SIDs

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 2 串联惯容系统构造图

Figure 2. The set-up of the series inerter damper (SID)

下载: 全尺寸图片幻灯片

根据图 1，基于D’Alembert原理，可建立考虑大跨度悬挂结构水平及竖向振动的风振动力学方程：

$\boldsymbol{M}_{\mathrm{s}} \ddot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{C}_{\mathrm{s}} \dot{\boldsymbol{x}}+ \boldsymbol{K}_{\mathrm{s}} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{G} \boldsymbol{F}_{\mathrm{t}}= \boldsymbol{F}_{\mathrm{w}},$

(1)

式中，$ \ddot{\boldsymbol{x}}, \dot{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{x}$分别为结构节点相对于地面水平和竖向运动的加速度、速度和位移向量，均为2n×1阶向量，n为悬挂结构的节点数；M_s, K_s, C_s分别为结构的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵，其为2n阶方阵；F_I为惯容系统出力向量，为s×1列向量，s为惯容系统个数；G为惯容系统位置参数，为2n×s矩阵，惯容系统上端节点对应的位置参数为1，下端节点对应的位置参数为-1，其他元素为0；F_w为引起大跨度悬挂振动的结构节点顺风向水平脉动风载，$ \boldsymbol{F}_{\mathrm{w}}=\left[p_{\mathrm{h}}\left(H_1, t\right), 0, \cdots, p_{\mathrm{h}}\left(H_n, t\right), 0\right]^{\mathrm{T}}, p_{\mathrm{h}}\left(H_i, t\right)$表示作用在结构H_i高度处顺风向水平脉动风荷载. 作用在结构H_i高度处，顺风向水平脉动风荷载表示为^{[7, 9]}

$p_{\mathrm{h}}\left(H_i, t\right)=B\left(H_i\right) u(t),$

(2)

式中，$ B\left(H_i\right)=\sqrt{24 K_{\mathrm{r}} \mu_{\mathrm{z}}\left(H_i\right)} A_i \mu_{\mathrm{s}}\left(H_i\right) w_0, K_{\mathrm{r}}$为与地面粗糙度有关的系数，μ_s(H_i)，μ_z(H_i)，w₀分别为离地高度为H_i的风载体型、风压高度变化和基本风压值；u(t)为归一化Davenport风速谱^[19]，当考虑建筑结构空间相关性时，功率谱密度函数^[9]为

$\begin{aligned} & S_{\mathrm{u}}(\omega)=\rho_{i j} \frac{4}{3} \mathtt{π} a^2 \omega\left(1+a^2 \omega^2\right)^{-4 / 3}, \quad \omega \geqslant 0, a=600\left(\mathtt{π} \bar{V}_{10}\right)^{-1}, \\ & \rho_{i j}=\exp \left[-\left|H_i-H_j\right| / 60\right] \cdot B\left(H_i\right) B\left(H_j\right), \end{aligned}$

V₁₀为离地高度10 m的标准平均风速.

惯容系统工程应用时需要将阻尼器两端与结构构件相连，如图 2所示^[16]. 当在结构的a，b节点间设置编号为l的串联型惯容系统时，动力学方程如下，

$F_{\text{I} l}=m_{\text{I} l} \ddot{x}_{\text{I} l, 3}=c_{\text{I} l} \dot{x}_{\text{I} l, 2}=k_{\text{I} l} x_{\text{I} l, 1}, \quad s \geqslant l \geqslant 1,$

(3a)

$\ddot{x}_{\text{I} l, 1}+\ddot{x}_{\text{I} l, 2}+\ddot{x}_{\text{I} l, 3}=\ddot{x}_b-\ddot{x}_a, \quad n \geqslant a, b \geqslant 1,$

(3b)

式中，m_Il，c_Il和k_Il分别为编号为l的惯容系统的惯容系数、阻尼系数和刚度系数；$ \ddot{x}_{\text{I} l, 1}, \ddot{x}_{\mathrm{I}l, 2}, \ddot{x}_{\mathrm{I}l, 3}$分别为编号l的惯容系统弹簧元件、阻尼元件、惯容元件两端的相对位移对时间t的二阶导数；$ \dot{x}_{\text{I} l, 2}$为编号l的惯容系统阻尼元件两端的相对位移对时间t的一阶导数；$ \ddot{x}_k(k=a, b)$为第k节点相对于地面位移的二阶导数.

在脉动风荷载激励下，悬挂结构的节点位移、惯容系统出力及其组件两端的相对位移都是时间t的函数. 为此，将式(3a)中的运动参量对时间求导：

$\ddot{x}_{\text{I} l, 1}=k_{\text{I} l}^{-1} \ddot{F}_{\text{I} l} ; \ddot{x}_{\text{I} l, 2}=c_{\text{I} l}^{-1} \dot{F}_{\text{I} l} ; \ddot{x}_{\text{I} l, 3}=m_{\text{I} l}^{-1} F_{\text{I} l},$

(4)

式中，$ \ddot{F}_{\mathrm{I}l}, \dot{F}_{\mathrm{I}l}$分别为F_Il对时间t的二阶和一阶导数.

把式(4)代入式(3a)，可建立串联型惯容系统的阻尼力与悬挂结构节点加速度的关系式：

$k_{\mathrm{I}l}^{-1} \ddot{F}_{\mathrm{I} l}+c_{\mathrm{I}l}^{-1} \dot{F}_{\mathrm{I} l}+m_{\mathrm{I} l}^{-1} F_{\mathrm{I} l}=\ddot{x}_b-\ddot{x}_a .$

(5)

式(5)建立了串联型惯容系统阻尼力与其两端节点加速度的关系，为此，以矩阵形式建立结构中所有惯容系统出力与结构位移加速度的关系式：

$\boldsymbol{M}_{\mathrm{I}} \ddot{\boldsymbol{F}}_{\mathrm{I}}+\boldsymbol{C}_{\mathrm{I}} \dot{\boldsymbol{F}}_{\mathrm{I}}+\boldsymbol{K}_{\mathrm{I}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{I}}=\boldsymbol{G}^{\mathrm{T}} \ddot{\boldsymbol{x}},$

(6)

式中，$ \boldsymbol{M}_{\mathrm{I}}=\operatorname{diag}\left(k_{\mathrm{I} 1}^{-1}, \cdots, k_{\mathrm{I}s}^{-1}\right), \boldsymbol{C}_{\mathrm{I}}=\operatorname{diag}\left(c_{\mathrm{I} 1}^{-1}, \cdots, c_{\mathrm{I}s}^{-1}\right), \boldsymbol{K}_{\mathrm{I}}=\operatorname{diag}\left(m_{\mathrm{I1}}^{-1}, \cdots, m_{\mathrm{I}s}^{-1}\right)$, diag表示对角阵，T表示矩阵转置.

大跨度悬挂结构竖向部件采用钢筋混凝土、钢材中的单一材料或者两者的组合材料，水平部件和悬挂部件主要采用钢材. 动力分析时两种材料均采用黏滞阻尼模型，属于低阻尼结构. 实模态振型分解法适用于低阻尼结构的动力学分析，结构体系的振型及自振圆频率则利用无阻尼结构的力学特性获得. 对于由钢筋混凝土、钢材或两者的组合材料建造的悬挂结构，利用无阻尼结构的实模态解耦法将结构的振动转化为由实模态广义变量表示的振子振动的线性组合，然后再利用结构对应材料的阻尼比进行动力响应分析. 工程上常用的力学分析软件，如MIDAS、ANSYS和ABAQUS等，均可完成复杂结构的建模和动力学分析，获得与式(1)等效形式的振型、自振圆频率和节点集中质量等参数.

当考虑悬挂结构的前N阶振型时，结构的响应位移可表示为

$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\varphi} \boldsymbol{q},$

(7)

式中，φ为悬挂结构的前N阶振型，为n×N阶矩阵；q为广义坐标向量，为N×1阶向量.

基于实模态振型分解法，利用式(7)及风荷载表达式(2)，则悬挂结构风振动方程式(1)和惯容系统的动力方程式(6)的等效形式表示为

$\boldsymbol{E} \ddot{\boldsymbol{q}}+2 \xi \boldsymbol{\omega} \dot{\boldsymbol{q}}+\boldsymbol{\omega}^2 \boldsymbol{q}+\gamma \boldsymbol{G} \boldsymbol{F}_{\mathrm{I}}=\gamma\left\{\boldsymbol{I}_0(\boldsymbol{H}) \boldsymbol{B}(\boldsymbol{H})\right\} u(t),$

(8a)

$\boldsymbol{M}_{\mathrm{I}} \ddot{\boldsymbol{F}}_{\mathrm{I}}+\boldsymbol{C}_{\mathrm{I}} \dot{\boldsymbol{F}}_{\mathrm{I}}+\boldsymbol{K}_{\mathrm{I}} \boldsymbol{F}_{\mathrm{I}}-\boldsymbol{G}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi} \ddot{\boldsymbol{q}}=\boldsymbol{o}_1,$

(8b)

式中，E为N阶单位阵，$ \boldsymbol{q}=\left\{q_1, \cdots, q_N\right\}^{\mathrm{T}}, q_i$为第i阶广义坐标，ω=diag(ω₁, …, ω_N)，ω_i为悬挂结构第i阶振动圆频率，ξ为阻尼比，$ \boldsymbol{\gamma}=\left(\boldsymbol{\varphi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M}_{\mathrm{s}} \boldsymbol{\varphi}\right)^{-1} \boldsymbol{\varphi}^{\mathrm{T}}, \left\{\boldsymbol{I}_0(\boldsymbol{H}) \boldsymbol{B}(\boldsymbol{H})\right\}=\left\{I_0\left(H_1\right) B\left(H_1\right), \cdots, I_0\left(H_n\right) B\left(H_n\right)\right\}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{o}_1$为s×1阶零元素矩阵. 当悬挂结构采用多种材料时，需要分别给出各单一材料对应动力方程式(8).

联立式(8)中的两式，用矩阵形式表示为

$\boldsymbol{M} \ddot{\boldsymbol{X}}+\boldsymbol{C} \dot{\boldsymbol{X}}+\boldsymbol{K} \boldsymbol{X}=\overline{\boldsymbol{\gamma}}\left\{\boldsymbol{I}_0(\boldsymbol{H}) \boldsymbol{B}(\boldsymbol{H})\right\} u(t),$

(9)

式中

$\boldsymbol{X}=\left\{\begin{array}{c} \boldsymbol{q} \\ \boldsymbol{F}_{\mathrm{I}} \end{array}\right\},$

(10)

$ \boldsymbol{M}=\left[ $\begin{array}{cc} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{o}_1 \\ -\boldsymbol{G}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi} & \boldsymbol{M}_{\mathrm{I}} \end{array}$ \right], \boldsymbol{C}=\left[ $\begin{array}{cc} 2 \xi \boldsymbol{\omega} & \boldsymbol{o}_1 \\ \boldsymbol{o}_1^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{C}_{\mathrm{I}} \end{array}$ \right], \boldsymbol{K}=\left[ $\begin{array}{cc} \boldsymbol{\omega}^2 & \boldsymbol{\gamma} \boldsymbol{I}_{\mathrm{I}} \\ \boldsymbol{o}_1^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{K}_{\mathrm{I}} \end{array}$ \right], \overline{\boldsymbol{\gamma}}=\left\{ $\begin{array}{c} \boldsymbol{\gamma} \\ \boldsymbol{o}_2 \end{array}$ \right\}, \boldsymbol{o}_2$为N×s阶0元素矩阵.

至此，设置惯容系统的悬挂结构的风振方程，转换为式(9)所表示的常系数二阶微分方程组，基于有限元技术获得的结构实模态振型和自振圆频率，避开了不易求解的悬挂结构的质量、刚度和阻尼矩阵等动力参数，从而简化了复杂结构风振方程的建立.

2. 设置惯容系统的大跨悬挂结构随机响应谱矩的简明封闭解

随机激励下结构响应分析方法中，功率谱的二次式分解法^[8-9]易于获得结构响应谱矩和方差的简明封闭解，下面给出结构响应量谱矩解析解的推导过程.

2.1 设置惯容系统的悬挂结构随机振动响应的频域统一解

对式(9)引入状态变量，则式(9)可改写为

$\overline{\boldsymbol{M}} \dot{\boldsymbol{y}}+\overline{\boldsymbol{K}} \boldsymbol{y}=\boldsymbol{\beta}\left\{\boldsymbol{I}_0(\boldsymbol{H}) \boldsymbol{B}(\boldsymbol{H})\right\} u(t),$

(11)

式中

$\boldsymbol{y}=\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{X} \\ \dot{\boldsymbol{X}} \end{array}\right\},$

(12)

$ \overline{\boldsymbol{M}}=\left[ $\begin{array}{cc} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{M} \\ \boldsymbol{M} & \boldsymbol{o}_3 \end{array}$ \right], \overline{\boldsymbol{K}}=\left[ $\begin{array}{cc} \boldsymbol{K} & \boldsymbol{o}_3 \\ \boldsymbol{o}_3 & -\boldsymbol{M} \end{array}$ \right], \boldsymbol{o}_3$为N+s阶0元素方阵；$ \boldsymbol{\beta}=\left[ $\begin{array}{c} \overline{\boldsymbol{\gamma}} \\ \boldsymbol{o}_4 \end{array}$ \right], \boldsymbol{o}_4$为(N+s)×n的0元素矩阵. 对式(11)引入复模态变换^{[10, 15]}：

$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{U z},$

(13)

式中，U为式(11)的右特征向量，z为复模态广义变量.

把式(13)代入式(11)，并利用复模态理论，则式(11)改写为

$\dot{\boldsymbol{z}}+\boldsymbol{P} \boldsymbol{z}=\boldsymbol{\eta}\left\{\boldsymbol{I}_0(\boldsymbol{H}) \boldsymbol{B}(\boldsymbol{H})\right\} u(t),$

(14)

式中，P为式(11)的复特征值矩阵，为对角阵；$ \boldsymbol{\eta}=\left(\boldsymbol{V}^{\mathrm{T}} \overline{\boldsymbol{M}} \boldsymbol{U}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{V}^{\mathrm{T}} \overline{\boldsymbol{\gamma}}\right), \boldsymbol{V}$为式(11)的左特征向量矩阵^{[9, 11, 15]}.

利用P为对角阵，并基于$\left\{\boldsymbol{I}_0(\boldsymbol{H}) \boldsymbol{B}(\boldsymbol{H})\right\} $的表达式，则式(14)的分量形式可表示为

$\dot{z}_k+p_k z_k=\sum\limits_{i=1}^n \eta_{k, i} I_0\left(H_i\right) B\left(H_i\right) u(t), \quad k=1, 2, \cdots, 2 r,$

(15)

式中，z_k, p_k分别为z，p的分量，η_{k, i}表示η矩阵第k行第i列的元素，r=N+s.

根据虚拟激励法，式(15)的频域解^{[10, 18]}为

$z_k(\omega)=\frac{1}{p_k+\mathrm{j} \omega} \sqrt{S_u(\omega)} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \sum\limits_{i=1}^n \eta_{k, i} I_0\left(H_i\right) B\left(H_i\right),$

(16)

式中，z_k(ω)为z_k的频域解，$ \text{j}=\sqrt{-1}$.

由式(10)、(12)及(13)，广义变量q_k和其变化率$\dot{q}_k $的频域解为

$\left\{\begin{array}{l} q_k(\omega)=\sum\limits_{i=1}^{2 r} u_{k, i} z_i(\omega), \\ \dot{q}_k(\omega)=\sum\limits_{i=1}^{2 r} u_{k+r, i} z_i(\omega), \end{array}\right.$

(17)

式中，$ q_k(\omega), \dot{q}_k(\omega)$分别为$ q_k, \dot{q}_k$的频域解; $u_{k, i}, u_{k+r, i} $定义为$ q_k, \dot{q}_k$的模态强度系数; u_{k, i}为右特征向量矩阵U的第k行、第i列元素.

由式(7)及(17)，悬挂结构各节点处的位移x_k和速度$ \dot{x}_k$的频域解为

$\left\{\begin{array}{l} x_k(\omega)=\sum\limits_{l=1}^N \sum\limits_{i=1}^{2 r} \varphi_{k, l} u_{l, i} z_i(\omega)=\sum\limits_{i=1}^{2 r} \lambda_{k, i} z_i(\omega), \\ \dot{x}_k(\omega)=\sum\limits_{l=1}^N \sum\limits_{i=1}^{2 r} \varphi_{k, l} u_{r+l, i} z_i(\omega)=\sum\limits_{i=1}^{2 r} \bar{\lambda}_{k, l} z_i(\omega), \end{array}\right.$

(18)

式中，$ x_k(\omega), \dot{x}_k(\omega)$为$ x_k, \dot{x}_k$的频域解；φ_{k, l}为结构实模态振型φ的第k行、第l列元素; $ \lambda_{k, i}=\sum_{l=1}^N \varphi_{k, l} u_{l, i}, \bar{\lambda}_{k, l}=\sum_{l=1}^N \varphi_{k, l} u_{N+l, i}$定义为响应模态强度系数.

由式(10)、(12)及(13)，$ F_{1 k}, \dot{F}_{1 k}$的频域解为

$\left\{\begin{array}{l} F_{\mathrm{I} k}(\omega)=\sum\limits_{i=1}^{2 r} u_{k+N, i} z_i(\omega), \\ \dot{F}_{\mathrm{I} k}(\omega)=\sum\limits_{i=1}^{2 r} u_{k+N+r, i} z_i(\omega), \end{array}\right.$

(19)

式中，$ F_{\mathrm{I} k}(\omega), \dot{F}_{\mathrm{I} k}(\omega)$分别为$ F_{\mathrm{I} k}, \dot{F}_{\mathrm{I} k}$的频域解；$ u_{k+N, i}, u_{k+N+r, i}$定义为$ F_{\mathrm{I} k}, \dot{F}_{\mathrm{I}k}$的模态强度系数.

相邻楼层间的水平位移差定义为结构的水平层间位移，是结构水平方向抗侧能力的重要参数，对于实际结构可取竖向结构相邻楼层的节点水平位移之差. 设第k层某构件的上下端的节点位移分别为x_{k, a}和x_{k, b}，则层间水平位移及其变化率的频域解可表示为

$\left\{\begin{array}{l} \Delta x_k(\omega)=x_{k, b}(\omega)-x_{k, a}(\omega)=\sum\limits_{i=1}^{2 r} v_{k, i} z_i(\omega), \\ \Delta \dot{x}_k(\omega)=\dot{x}_{k, b}(\omega)-\dot{x}_{k, a}(\omega)=\sum\limits_{i=1}^{2 r} \bar{v}_{k, i} z_i(\omega), \end{array}\right.$

(20)

式中，$ \Delta x_k(\omega), \Delta \dot{x}_k(\omega)$为第k层某构件的层间位移及变化率的频域解；$ \boldsymbol{v}_{k, i}, \overline{\boldsymbol{v}}_{k, l}$分别为层间位移及其变化率的模态强度系数；$ \boldsymbol{v}_{k, i}=\sum_{l=1}^N\left(\varphi_{k b, l}-\varphi_{k a, l}\right) u_{l, i}, \bar{v}_{k, l}=\sum_{l=1}^N\left(\varphi_{k b, l}-\varphi_{k a, l}\right) u_{l+r, i} \text {, 其中 } \varphi_{k a, l}, \varphi_{k b, l}$分别为第k层某构件上下端节点的结构实模态振型.

为便于后文响应谱矩和方差封闭解推导，由式(18)—(20)可知，结构的位移、惯容系统出力、层间位移等结构系列响应的频域解可统一表示为

$Y(\omega)=\sum\limits_{i=1}^{2 r} \chi_i z_i(\omega),$

(21)

式中，χ_i为响应Y的第i个模态强度系数.

由虚拟激励法^[10]，则Y的功率谱S_Y(ω)为

$S_Y(\omega)=\sum\limits_{k=1}^{2 r} \sum\limits_{i=1}^{2 r} \chi_i \chi_k z_k(\omega) z_i^*(\omega),$

(22)

式中，z_i^*(ω)是z_i(ω)的共轭项.

运用功率谱二次式分解法^{[9-10, 18]}对式(22)进行二次式分解：

$S_X(\omega)=\left[\sum\limits_{k=1}^{2 r} \frac{\chi_k^2 \delta_{k k}}{p_k^2+\omega^2}+\sum\limits_{k=1}^{2 r-1} \sum\limits_{i=k+1}^{2 r} \frac{\chi_k \chi_i \delta_{i k}}{p_i+p_k}\left(\frac{2 p_i}{p_i^2+\omega^2}+\frac{2 p_k}{p_k^2+\omega^2}\right)\right] S_u(\omega),$

(23)

式中，$ \delta_{i k}=\sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n \eta_{i, i_1} \eta_{k, i_2} \rho_{i_1 i_2}$.

由式(23)可知，悬挂结构基于Davenport谱的响应功率谱表示为含有二次项与归一化Davenport风速谱的代数积，为后面谱矩及方差封闭解的获得奠定基础.

2.2 结构风振响应谱矩和方差的新解法

根据随机振动理论，随机激励下响应的0阶谱矩等于其方差；响应的2阶谱矩等于其变化率的0阶谱矩；响应的4阶谱矩为响应量加速度响应的0阶谱矩，亦等于响应量加速度的方差. 振动加速度响应是计算舒适度分析的基础^[20-21]，为此，需要对结构风振响应的0、2及4阶谱矩进行分析. 根据谱矩的上述关系，只需要对响应的0阶和2阶谱矩进行分析，即响应的谱矩定义为

$\alpha_{X, q}=\int_0^{\infty} S_X(\omega) \omega^q \mathrm{~d} \omega, \quad q=0, 2 .$

(24)

把式(23)代入式(24), 则结构响应的谱矩可表示为

$\alpha_{X, q}=\sum\limits_{k=1}^{2 r} \chi_k^2 \delta_{k k} \theta_{k, q}+2 \sum\limits_{k=1}^{2 r-1} \sum\limits_{i=k+1}^{2 r} \frac{\chi_i \chi_k \delta_{i k}}{p_i+p_k}\left(p_i \theta_{i, q}+p_k \theta_{k, q}\right),$

(25)

式中

$\theta_{k, 0}=\frac{4 \mathtt{π}}{3} \int_0^{\infty} \frac{a^2 \omega^{0+1}}{\left(1+a^2 \omega^2\right)^{4 / 3}} \frac{1}{p_k^2+\omega^2} \mathrm{~d} \omega=\frac{2 \mathtt{π} a^2}{c^3}\left(1+\sum\limits_{i=1}^3 b_i \ln \left(1-t_i\right)\right),$

(26a)

$\theta_{k, 2}=\frac{4 \mathtt{π}}{3} \int_0^{\infty} \frac{a^2 \omega^{2+1}}{\left(1+a^2 \omega^2\right)^{4 / 3}} \frac{1}{p_k^2+\omega^2} \mathrm{~d} \omega=2 \mathtt{π}-p_k^2 \theta_{k, 0},$

(26b)

式中, $ c=\sqrt[3]{a^2 p_k^2-1}, t_1=-c, t_2=(1+\mathrm{i} \sqrt{3}) c / 2, t_3=(1-\mathrm{i} \sqrt{3}) c / 2, b_i=t_i /\left(t_i-t_j\right) /\left(t_i-t_k\right), i \neq j \neq k$.

由随机振动理论，风振加速度方差等于风振绝对位移变化率的2阶谱矩，故由式(25)和式(26b), 结构风振加速度方差的封闭解可表示为

$\sigma_{\tilde{x}_l}^2=\alpha_{x_l, 4}=\sum\limits_{k=1}^{2 r} \lambda_{k, l} \lambda_{k, l} \delta_{k k} \theta_{k, 2}+2 \sum\limits_{k=1}^{2 r-1} \sum\limits_{i=k+1}^{2 r} \frac{\lambda_{k, l} \lambda_{i, l} \delta_{i k}}{p_i+p_k}\left(p_i \theta_{i, 2}+p_k \theta_{k, 2}\right),$

(27)

式中，$ \sigma_{\tilde{x}_l}^2$为节点加速度方差.

由式(25)获得结构系列响应基于Davenport风速谱的0阶和2阶谱矩，由式(27)可获得结构节点加速度的方差. 由式(26)可知，θ_{k, 0}，θ_{k, 2}为解析解，而式(25)中的χ_w, η_w, p_w可根据复模态法利用矩阵运算而获得高精度的数值解. 故式(25)和式(27)所获得的系列响应的0阶、2阶和4阶谱矩和方差为封闭解.

综上所述，本文提出了一种计算设置惯容系统的悬挂结构基于Davenport风速谱的绝对位移、结构层间位移、惯容系统出力0、2阶谱矩和方差的简明封闭解，其计算流程如图 3所示.

图 3 悬挂结构随机响应的简明封闭解的计算流程图

Figure 3. The calculation flowchart of the concise closed-form solution for the random responses of suspension structures

下载: 全尺寸图片幻灯片

3. 算例

某图书馆采用大跨度悬挂结构以凸显建筑美学，其中一榀结构布置如图 4(a)所示(图中尺寸单位为m，圆圈中数字代表构件截面特性编号)，构件截面特性如表 1所示. 结构由地下1层和地上9层组成，地下部分采用钢筋混凝土结构，地上部分采用钢结构. 结构所在地的风荷载计算的地面粗糙度为A类，基本风压为0.4 kN/m²，脉动风采用Davenport风速谱，参数取值为K_r=0.001 29, V₁₀=24.85 m/s.

图 4 非对称结构计算简图

Figure 4. The structural calculating diagram of the asymmetric suspension structure

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 1 构件信息表

Table 1. Member Information

№. of elements	material	across section /mm	№. of elements	material	across section /mm
①	C30	box 650×400	⑤	Q390	box 800×800×50
②	Q390	H 700×300×20×40	⑥	Q390	box 1 000×1 000×80
③	Q390	H 1 000×400×30×80	⑦	Q390	box 600×600×20
④	C35	box 1 400×1 400	⑧	Q390	H 600×300×30×90

下载: 导出CSV

| 显示表格

基于MIDAS Gen软件，对该结构进行建模，如图 4(b)所示. 共43个节点，考虑结构水平和竖向运动，共86个自由度(图中数字为节点编号). 结构动力分析时，采用集中质量法，节点质量由结构自重、楼面铺装自重和活荷载组成：结构自重依据材料重度和截面尺寸由软件计算(楼板厚度120 mm)，楼面铺装取1 kN/m², 活荷载取规范值的一半(1.5 kN/m²)，集中质量和迎风面积按柱网间距9 m计算. 结构的刚度按有限元方法进行建模由软件自行计算，其中梁刚度需要考虑楼板的增大效应，故依据现行规范按梁截面计算的刚度的2.0倍. 利用有限元软件获得结构实模态的振型、自振圆频率和节点质量. 结构阻尼采用Rayleigh阻尼，混凝土材料的结构阻尼比为0.05，钢材的结构阻尼比为0.02，混凝土与钢结构相交处的阻尼比按钢结构的阻尼比计算.

3.1 所提封闭解的验证

虚拟激励法广泛应用于随机激励下各类工程的动力响应分析，为了验证本文所提封闭的正确性，利用虚拟激励法进行验证. 根据图书馆的使用要求，惯容系统的设置位置如图 5所示，图中Ni(i=1, 2, …, 6)，为惯容系统的编号. 根据柱间设置惯容系统，则两柱间的抗侧刚度按结构力学计算约为4.98×10⁸ N/m, 串联型惯容系统的参数取值为k_d=1.97×10⁷ N/m，c_d=5.02×10⁶ N · s/m，m_in=8.0×10⁶ kg.

图 5 惯容系统在悬挂结构中的布置图

Figure 5. The layout of ISDs in the suspension structure

下载: 全尺寸图片幻灯片

由式(8)，则广义变量的频域解可表示为

$\left(-\boldsymbol{E} \omega^2+2 \mathrm{j} \xi \boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{\omega}^2\right) \overline{\boldsymbol{q}}(\omega)+\boldsymbol{\gamma} \boldsymbol{G} \overline{\boldsymbol{F}}(\omega)=\boldsymbol{\gamma}\left\{\boldsymbol{I}_0(\boldsymbol{H}) \boldsymbol{B}(\boldsymbol{H})\right\} \sqrt{S_{\mathrm{u}}(\omega)} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t},$

(28a)

$\left(-\boldsymbol{M}_{\mathrm{I}} \omega^2+\boldsymbol{C}_{\mathrm{I}} \mathrm{j} \omega+\boldsymbol{K}_{\mathrm{I}}\right) \overline{\boldsymbol{F}}_{\mathrm{I}}(\omega)=-\boldsymbol{G}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi} \omega^2 \boldsymbol{q}(\omega),$

(28b)

$ \bar{q}_l(\omega)$为虚拟激励法的广义变量频域解.

由式(28b)，则惯容系统阻尼力与结构广义变量的关系式可表示为

$\overline{\boldsymbol{F}}_{\mathrm{I}}(\omega)=-\boldsymbol{H}_{\mathrm{I}}^{-1}(\omega) \boldsymbol{G}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi} \omega^2 \boldsymbol{q}(\omega),$

(29)

式中，$ \boldsymbol{H}_{\mathrm{I}}(\omega)=-\boldsymbol{M}_{\mathrm{I}} \omega^2+\boldsymbol{C}_{\mathrm{I}} \mathrm{j} \omega+\boldsymbol{K}_{\mathrm{I}}$.

把式(29)代入式(28a)中，可获得结构广义变量向量的频域解：

$\boldsymbol{q}(\omega)=\boldsymbol{\varepsilon}(\omega)\left\{\boldsymbol{I}_0(\boldsymbol{H}) \boldsymbol{B}(\boldsymbol{H})\right\} \sqrt{S_{\mathrm{u}}(\omega)} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t},$

(30)

式中，$ \boldsymbol{\varepsilon}(\omega)=\left(-\boldsymbol{E} \omega^2+2 \mathrm{j} \xi \boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{\omega}^2-\boldsymbol{\gamma} \boldsymbol{G} \boldsymbol{H}_{\mathrm{I}}^{-1}(\omega) \boldsymbol{G}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi} \omega^2\right) \boldsymbol{\gamma}$.

根据$ \left\{\boldsymbol{I}_0(\boldsymbol{H}) \boldsymbol{B}(\boldsymbol{H})\right\}$的特点，第l阶实模态广义变量的解可表示为

$\bar{q}_l(\omega)=\sum\limits_{s=1}^n \varepsilon_{l, s} I_0\left(H_{\mathrm{s}}\right) B\left(H_{\mathrm{s}}\right) \sqrt{S_{\mathrm{u}}(\omega)} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t},$

(31)

式中，q_l(ω)表示第l阶实模态广义变量的频域解.

由式(7)及式(31)，则结构位移的频域解可表示为

$\bar{x}_i(\omega)=\sum\limits_{l=1}^N \varphi_{i l} \bar{q}_l(\omega)=\sqrt{S_{\mathrm{u}}(\omega)} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \sum\limits_{l=1}^N \sum\limits_{s=1}^n \varphi_{i l} \varepsilon_{l, s}(\omega) I_0\left(H_{\mathrm{s}}\right) B\left(H_{\mathrm{s}}\right),$

(32)

式中，x_i(ω)为虚拟激励法的结构节点位移频域解.

由式(31)及式(32)，则惯容系统出力的频域解可表示为

$\overline{\boldsymbol{F}}_{\mathrm{I}}(\omega)=\sigma(\omega)\left\{\boldsymbol{I}_0(\boldsymbol{H}) \boldsymbol{B}(\boldsymbol{H})\right\} \sqrt{S_{\mathrm{u}}(\omega)} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t},$

(33)

式中，$ \sigma(\omega)=-\boldsymbol{H}_{\mathrm{I}}^{-1}(\omega) \boldsymbol{G}^{\mathrm{T}} \varphi \omega^2 \varepsilon(\omega)$.

由虚拟激励法及风荷载空间相关性的特点，结构位移及惯容系统出力的功率谱密度函数表示为

$\left\{\begin{array}{l} \bar{S}_{x_i}(\omega)=\bar{x}_i(\omega) \times \bar{x}_i^*(\omega)=S_u(\omega) \sum\limits_{l_1=1}^N \sum\limits_{l_2=1}^N \sum\limits_{s_2=1}^n \sum\limits_{s_1=1}^n \varphi_{i l_1} \varphi_{i l_2} \varepsilon_{l_1, s_1}(\omega) \varepsilon_{l_2, s_2}(-\omega) \rho_{s_1 s_2}, \\ \bar{S}_{F_{\mathrm{I} i}}(\omega)=\bar{F}_{\mathrm{I} i}(\omega) \times \bar{F}_{\mathrm{I} i}^*(\omega)=S_u(\omega) \sum\limits_{s_2=1}^n \sum\limits_{s_1=1}^n \sigma_{i, s_1}(\omega) \sigma_{i, s_2}^*(\omega) \rho_{s_1 s_2}, \end{array}\right.$

(34)

式中，S_{x_i}(ω), S_{F_Ii}(ω)为虚拟激励法结构位移x_i和惯容系统出力F_Ii的功率谱，$ \bar{x}_i^*(\omega), \bar{F}_{\mathrm{I} i}^*(\omega)$分别为$ \bar{x}_i(\omega), \bar{F}_{\mathrm{I} i}(\omega)$.

由式(34)可知，基于虚拟激励法的谱矩分析只能采用数值积分法来计算，由于数值积分无法在无穷大区间开展，只能在有限区间取值，而有限区间和积分步长都需要通过试算来确定. 采用数值积分，结构响应谱矩的计算式如下：

$\left\{\begin{array}{l} \bar{\alpha}_{x_i, p}=2 \int_0^{\infty} \omega^p \bar{S}_{x_i}(\omega) \mathrm{d} \omega \approx 2 \int_0^{\omega_{\mathrm{u}}} \omega^p \bar{S}_{x_i}(\omega) \mathrm{d} \omega \approx \sum\limits_{k=0}^{\omega_{\mathrm{u}} / \Delta \omega} \omega_k^p \bar{S}_{x_i}\left(\omega_k\right) \Delta \omega, \\ \bar{\alpha}_{F_{\mathrm{I}}, p}=2 \int_0^{\infty} \omega^p \bar{S}_{F_{\mathrm{I}}}(\omega) \mathrm{d} \omega \approx 2 \int_0^{\omega_{\mathrm{u}}} \omega^p \bar{S}_{F_{\text{I}i}}(\omega) \mathrm{d} \omega \approx \sum\limits_{k=0}^{\omega_{\mathrm{u}} / \Delta \omega} \omega_k^p \bar{S}_{F_{\mathrm{II}}}\left(\omega_k\right) \Delta \omega, \end{array}\right.$

(35)

式中，α_{x_i, p}为结构节点位移的p阶谱矩；α_{F_Ii, p}为惯容系统出力的p阶谱矩；ω_u为积分上限，ω_k=kΔω，Δω为积分步长.

本算例通过试算积分上限，ω_u=1 000 rda/s时可获得精确稳定解，计算步长分为3个工况：工况1，Δω=2.5 rad/s；工况2，Δω=1.0 rad/s；工况3，Δω=0.05 rad/s. 图 6—11为虚拟激励法和本文方法的对比.

图 6 节点水平方向位移0阶谱矩

Figure 6. 0th-order spectral moments of node displacements in the horizontal direction

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 7 节点水平方向位移2阶谱矩

Figure 7. 2nd-order spectral moments of node displacements in the horizontal direction

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 8 节点水平方向位移4阶谱矩

Figure 8. 4th-order spectral moments of node displacements in the horizontal direction

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 9 节点竖向位移4阶谱矩

Figure 9. 4th-order spectral moments of node displacements in the vertical direction

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 10 惯容系统出力0阶谱矩

Figure 10. 0th-order spectral moments of the inerter damper's forces

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 11 惯容系统出力2阶谱矩

Figure 11. 2nd-order spectral moments of the inerter damper's forces

下载: 全尺寸图片幻灯片

由图 6—11可知，随着积分步长Δω逐渐变小，虚拟激励法计算结果逐渐逼近本文方法的计算结果，从数学积分运算的角度，说明了本文方法的正确性. 此外，虚拟激励法积分步长对响应量的计算精度也有所不同，对于结构水平位移的0阶和2阶谱矩，虚拟激励法的积分步长Δω=0.05 rad/s才能达到高阶精度解，而对于结构水平位移和竖向位移4阶谱矩和惯容系统出力的0阶和2阶谱矩，虚拟激励法的积分步长Δω=1 rad/s可达到高阶精度阶. 因此，虚拟激励法在进行谱矩计算时，必须要试算才能确保高精度阶，而本文方法则无需试算. 此外，从计算效率来看，在计算图 6—11中响应量时，工况3的耗时为8 065.130 s，而本文方法耗时仅为0.478 s，从而说明本文方法的高效性.

3.2 惯容系统减振效果对比分析

为了研究惯容系统对大跨度悬挂结构的减振效果，利用本文方法计算减振体系(设置惯容系统(EDS))和无控结构(未设置惯容系统)的双向振动位移和加速度方差并进行对比分析. 本算例中，惯容系统的设置及参数与3.1小节相同，图 12—15给出了上述响应量的对比.

图 12 结构水平位移方差对比

Figure 12. Comparison of variances of structural horizontal displacements

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 13 结构竖向位移方差对比

Figure 13. Comparison of structural vertical displacement variances

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 14 结构水平加速度方差对比

Figure 14. Comparison of structural horizontal acceleration variances

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 15 结构竖向加速度方差对比

Figure 15. Comparison of structural vertical acceleration variances

下载: 全尺寸图片幻灯片

由图 12—15可知，算例计算结果表明耗能结构的位移和加速度方差与无控结构对比时显著降低，说明惯容系统能有效降低大跨度悬挂结构的动力响应. 由图 12可知，结构水平位移方差满足平面刚度无穷大假设，即同一楼层处的节点位移基本相同. 由图 13—15可知，结构竖向位移方差、水平及竖向加速度方差均不满足平截面假定；由图 14并结合图 5中惯容系统的设置，位置处节点振动的水平和竖向加速度会明显小于同楼层处其他节点值.

从图 14可知，无控结构大部分节点的水平加速度均超过规范值^[22]0.28 m/s², 而减振体系仅1个节点的水平加速度超过限制值，其余节点的水平加速度均小于规范值，从而有效提高了大跨度悬挂结构的舒适度. 从图 15可知，无控结构的竖向加速度在悬挂部分远大于主体结构部分，最大值为0.13 m/s²，虽小于规范值，但由于加速度为矢量，其与水平加速度组合后会超规范值，因此大跨悬挂结构的竖向振动不能忽略.

4. 结论

本文针对大跨悬挂结构双向随机风振响应显著的问题，提出了利用串联型惯容系统与悬挂结构组成减振体系来抑制大跨度悬挂结构振动的策略，并针对减振体系随机响应分析方法复杂的现状，提出了一种简明封闭解法，主要结论如下：

1) 利用有限元技术对复杂结构进行建模并进行动力分析，易于获得结构实模态振型、自振圆频率和节点集中质量等动力学分析参数，可为复杂结构设置各类被动控制装置并基于复杂激励(如随机激励)下动力响应分析提供新途径. 本文提出了设置系统的大跨度悬挂结构基于顺风向脉动荷载作用下的结构节点位移、楼层层间位移和节点加速度的封闭解，可为其他复杂结构基于风荷载激励下的响应分析提供参考.

2) 大跨度悬挂结构在顺风向脉动风荷载作用下，结构会产生水平和竖向振动，结构水平振动位移满足平截面刚度无限大假设，但结构的水平加速度、竖向位移和加速度则不满足平面刚度无限大假设，因此对于复杂结构不易采用平面刚度无限大的假设.

3) 算例计算结果表明，水平风荷载作用下，大跨度悬挂结构水平位移、水平加速度和竖向加速度均较为显著，其中加速度是影响结构舒适度的重要参数，故竖向振动分析不能忽略.

4) 算例计算结果表明，惯容系统能有效降低大跨度悬挂结构的位移和加速度响应量，特别是能有效降低连接处节点的水平和竖向加速度.

图 1 设置惯容系统的大跨悬挂结构力学简图

Figure 1. The diagram of the large-span suspension structure with SIDs

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 2 串联惯容系统构造图

Figure 2. The set-up of the series inerter damper (SID)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 3 悬挂结构随机响应的简明封闭解的计算流程图

Figure 3. The calculation flowchart of the concise closed-form solution for the random responses of suspension structures

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 4 非对称结构计算简图

Figure 4. The structural calculating diagram of the asymmetric suspension structure

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 5 惯容系统在悬挂结构中的布置图

Figure 5. The layout of ISDs in the suspension structure

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 6 节点水平方向位移0阶谱矩

Figure 6. 0th-order spectral moments of node displacements in the horizontal direction

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 7 节点水平方向位移2阶谱矩

Figure 7. 2nd-order spectral moments of node displacements in the horizontal direction

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 8 节点水平方向位移4阶谱矩

Figure 8. 4th-order spectral moments of node displacements in the horizontal direction

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 9 节点竖向位移4阶谱矩

Figure 9. 4th-order spectral moments of node displacements in the vertical direction

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 10 惯容系统出力0阶谱矩

Figure 10. 0th-order spectral moments of the inerter damper's forces

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 11 惯容系统出力2阶谱矩

Figure 11. 2nd-order spectral moments of the inerter damper's forces

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 12 结构水平位移方差对比

Figure 12. Comparison of variances of structural horizontal displacements

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 13 结构竖向位移方差对比

Figure 13. Comparison of structural vertical displacement variances

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 14 结构水平加速度方差对比

Figure 14. Comparison of structural horizontal acceleration variances

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 15 结构竖向加速度方差对比

Figure 15. Comparison of structural vertical acceleration variances

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 1 构件信息表

Table 1. Member Information

№. of elements	material	across section /mm	№. of elements	material	across section /mm
①	C30	box 650×400	⑤	Q390	box 800×800×50
②	Q390	H 700×300×20×40	⑥	Q390	box 1 000×1 000×80
③	Q390	H 1 000×400×30×80	⑦	Q390	box 600×600×20
④	C35	box 1 400×1 400	⑧	Q390	H 600×300×30×90

下载: 导出CSV

参考文献(22)

[1]	肖魁, 贾水钟, 贾君玉, 等. 上海图书馆东馆悬挂结构方案设计与研究[J]. 建筑结构, 2022, 52 (1): 1-6. XIAO Kui, JIA Shuizhong, JIA Junyu, et al. Design and research on suspended structure scheme of Shanghai East Library[J]. Building Structure, 2022, 52 (1): 1-6. (in Chinese)
[2]	朱前坤, 蒲兴龙, 惠晓丽, 等. 基于人群-结构耦合作用甘肃省体育馆悬挂结构振动舒适度评估及控制[J]. 工程力学, 2018, 35 (S1): 46-52. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2017.06.S003 ZHU Qiankun, PU Xinglong, HUI Xiaoli, et al. Serviceability evaluation and control of suspension structure of Gansu gymnasium based on pedestrian-structure coupled vibration[J]. Engineering Mechanics, 2018, 35 (S1): 46-52. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2017.06.S003
[3]	刘郁馨, 吕志涛. 单段悬挂结构随机动力参数优化解[J]. 南京建筑工程学院学报(自然科学版), 2011, 56 (1): 1-8. LIU Yuxin, LÜ Zhitao. Optimal solution of random dynamic action for suspension building structures[J]. Journal of Nanjing Architectural and Civil Engineering Institute (Natural Science Edition), 2011, 56 (1): 1-8. (in Chinese)
[4]	GOODNO B J, GERE J M. Earthquake behavior of suspended-floor buildings[J]. Journal of the Structural Division, 1976, 102 (5): 973-992.
[5]	LIU Y X, LÜ Z T. Seismic performance and storey-based stability of suspended buildings[J]. Advances in Structural Engineering, 2014, 17 (10): 1531-1550. doi: 10.1260/1369-4332.17.10.1531
[6]	CHEN M, LIANG X, YANG Z, et al. Analytical study on the random seismic responses of an asymmetrical suspension structure[J]. Buildings, 2023, 13 (6): 1435. doi: 10.3390/buildings13061435
[7]	TIAN C, YAO W, PAN Y, et al. Dynamic response of asymmetric suspended structure subjected to random wind excitation[J]. The Structural Design of Tall and Special Buildings, 2024, 33 (10): e2106. doi: 10.1002/tal.2106
[8]	KUMAR A, SAHA S K, MATSAGAR V A. Stochastic response analysis of elastic and inelastic systems with uncertain parameters under random impulse loading[J]. Journal of Sound and Vibration, 2019, 461 : 114899. doi: 10.1016/j.jsv.2019.114899
[9]	葛新广, 张梦丹, 龚景海, 等. 频响函数二次正交法在Davenport风速谱下结构系列响应简明封闭解的应用研究[J]. 振动与冲击, 2021, 40 (21): 207-214. GE Xinguang, ZHANG Mengdan, GONG Jinghai, et al. Application of FRF quadratic orthogonal method in getting concise closed form solutions of structural series responses under Davenport wind speed spectrum[J]. Journal of Vibration and Shock, 2021, 40 (21): 207-214. (in Chinese)
[10]	GE X G, GONG J H, ZHAO C J, et al. Structural dynamic responses of building structures with non-viscous dampers under Kanai-Tajimi spectrum excitation[J]. Journal of Sound and Vibration, 2022, 517 : 116556. doi: 10.1016/j.jsv.2021.116556
[11]	李创第, 李宇翔, 杨雪峰, 等. 六参数实用黏弹性阻尼结构基于Davenport风谱风振响应的复模态法[J]. 应用数学和力学, 2023, 44 (3): 248-259. doi: 10.21656/1000-0887.420211 LI Chuangdi, LI Yuxiang, YANG Xuefeng, et al. A complex mode method for wind-induced responses of 6-parameter practical viscoelastic damping energy dissipation structures based on the davenport wind speed spectrum[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2023, 44 (3): 248-259. (in Chinese) doi: 10.21656/1000-0887.420211
[12]	YANG W, DENG E, LEI M, et al. Transient aerodynamic performance of high-speed trains when passing through two windproof facilities under crosswinds: a comparative study[J]. Engineering Structures, 2019, 188 : 729-744. doi: 10.1016/j.engstruct.2019.03.070
[13]	李创第, 王磊石, 邹万杰, 等. 广义Maxwell阻尼器高层结构随机风振响应解析法[J]. 广西大学学报(自然科学版), 2016, 41 (4): 953-963. LI Chuangdi, WANG Leishi, ZOU Wanjie, et al. Analytic method for random wind-induced response of high-rise structure with general Maxwell dampers[J]. Journal of Guangxi University (Natural Science Edition), 2016, 41 (4): 953-963. (in Chinese)
[14]	赵中伟, 张永高. 基于本征-虚拟激励法的大跨钢结构风振响应分析[J]. 空间结构, 2020, 26 (1): 15-23. ZHAO Zhongwei, ZHANG Yonggao. Wind-induced response analysis of complex steel structures based on pod-pseudo excitation method[J]. Spatial Structures, 2020, 26 (1): 15-23. (in Chinese))
[15]	GE X G, LI C D, AZIM I, et al. Structural dynamic responses of linear structures subjected to Kanai-Tajimi excitation[J]. Structures, 2021, 34 : 3958-3967. doi: 10.1016/j.istruc.2021.08.092
[16]	ZHANG R F, ZHAO Z P, PAN C, et al. Damping enhancement principle of inerter system[J]. Structural Control and Health Monitoring, 2020, 27 (5): e2523.
[17]	李创第, 江丽富, 王瑞勃, 等. 单自由度混联Ⅱ型惯容系统随机地震动响应分析[J]. 应用数学和力学, 2023, 44 (3): 260-271. doi: 10.21656/1000-0887.430166 LI Chuangdi, JIANG Lifu, WANG Ruibo, et al. Responses of SDOF structures with SPIS-Ⅱ dampers under random seismic excitation[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2023, 44 (3): 260-271. (in Chinese) doi: 10.21656/1000-0887.430166
[18]	葛新广, 龚景海, 李创第, 等. 功率谱二次正交化法在随机地震动响应的应用[J]. 振动工程学报, 2022, 35 (3): 616-624. GE Xinguang, GONG Jinghai, LI Chuangdi, et al. Application of quadratic orthogonalization method of response power spectrum to random ground motion response[J]. Journal of Vibration Engineering, 2022, 35 (3): 616-624. (in Chinese)
[19]	DAVENPORT A G. Past, present and future of wind engineering[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 2002, 90 (12/13/14/15): 1371-1380.
[20]	LIEVENS K, LOMBAERT G, VAN NIMMEN K, et al. Robust vibration serviceability assessment of footbridges subjected to pedestrian excitation: strategy and applications[J]. Engineering Structures, 2018, 171 : 236-246.
[21]	卢宇杰, 程逸建, 程正珲, 等. 悬挂结构组合楼盖人致振动舒适度试验研究[J]. 建筑结构学报, 2020, 41 (S2): 263-269. LU Yujie, CHENG Yijian, CHENG Zhenghui, et al. Experimental study on vibration serviceability of composite floor in a suspended structure[J]. Journal of Building Structures, 2020, 41 (S2): 263-269. (in Chinese)
[22]	高层民用建筑钢结构技术规程: JGJ 99—2015[S]. 北京: 中国建筑工业出版社, 2016. Technical specification for steel structure of tall building: JGJ 99—2015[S]. Beijing: China Architecture & Building Press, 2016. (in Chinese)

施引文献

资源附件(0)

访问统计

图(15) / 表(1)

计量

文章访问数: 73
HTML全文浏览量: 35
PDF下载量: 14
被引次数: 0

0. 引言
1. 设置惯容系统的大跨悬挂结构风振动方程的建立
2. 设置惯容系统的大跨悬挂结构随机响应谱矩的简明封闭解
2.1 设置惯容系统的悬挂结构随机振动响应的频域统一解
2.2 结构风振响应谱矩和方差的新解法
3. 算例
3.1 所提封闭解的验证
3.2 惯容系统减振效果对比分析
4. 结论

0. 引言
1. 设置惯容系统的大跨悬挂结构风振动方程的建立
2. 设置惯容系统的大跨悬挂结构随机响应谱矩的简明封闭解
2.1 设置惯容系统的悬挂结构随机振动响应的频域统一解
2.2 结构风振响应谱矩和方差的新解法
3. 算例
3.1 所提封闭解的验证
3.2 惯容系统减振效果对比分析
4. 结论

参考文献(22)

施引文献

资源附件(0)

访问统计

姓名
邮箱
手机号码
标题
留言内容
验证码

留言板

设置惯容系统的非对称大跨悬挂结构风振响应分析

doi: 10.21656/1000-0887.450078

作者简介:
田翀(1985—)，男，高级工程师，硕士(E-mail: tianchong1110@163.com)

通讯作者:
庞迎波(1978—)，男，副教授，硕士(通讯作者. E-mail: gxopalo@163.com)

计量

Analysis of Wind Vibration Response of Large-Span Asymmetric Suspension Structures With Series Inerter Dampers

0. 引言

1. 设置惯容系统的大跨悬挂结构风振动方程的建立

2. 设置惯容系统的大跨悬挂结构随机响应谱矩的简明封闭解

2.1 设置惯容系统的悬挂结构随机振动响应的频域统一解

2.2 结构风振响应谱矩和方差的新解法

3. 算例

3.1 所提封闭解的验证

3.2 惯容系统减振效果对比分析

4. 结论

计量

目录

0. 引言

1. 设置惯容系统的大跨悬挂结构风振动方程的建立

2. 设置惯容系统的大跨悬挂结构随机响应谱矩的简明封闭解

2.1 设置惯容系统的悬挂结构随机振动响应的频域统一解

2.2 结构风振响应谱矩和方差的新解法

3. 算例

3.1 所提封闭解的验证

3.2 惯容系统减振效果对比分析

4. 结论

留言板

设置惯容系统的非对称大跨悬挂结构风振响应分析

doi: 10.21656/1000-0887.450078

作者简介: 田翀(1985—)，男，高级工程师，硕士(E-mail: tianchong1110@163.com)

通讯作者: 庞迎波(1978—)，男，副教授，硕士(通讯作者. E-mail: gxopalo@163.com)

计量

出版历程

Analysis of Wind Vibration Response of Large-Span Asymmetric Suspension Structures With Series Inerter Dampers

0. 引言

1. 设置惯容系统的大跨悬挂结构风振动方程的建立

2. 设置惯容系统的大跨悬挂结构随机响应谱矩的简明封闭解

2.1 设置惯容系统的悬挂结构随机振动响应的频域统一解

2.2 结构风振响应谱矩和方差的新解法

3. 算例

3.1 所提封闭解的验证

3.2 惯容系统减振效果对比分析

4. 结论

计量

出版历程

目录

0. 引言

1. 设置惯容系统的大跨悬挂结构风振动方程的建立

2. 设置惯容系统的大跨悬挂结构随机响应谱矩的简明封闭解

2.1 设置惯容系统的悬挂结构随机振动响应的频域统一解

2.2 结构风振响应谱矩和方差的新解法

3. 算例

3.1 所提封闭解的验证

3.2 惯容系统减振效果对比分析

4. 结论

作者简介:
田翀(1985—)，男，高级工程师，硕士(E-mail: tianchong1110@163.com)

通讯作者:
庞迎波(1978—)，男，副教授，硕士(通讯作者. E-mail: gxopalo@163.com)