其余变量的偏导采用相同标记方法．应用数学和力学编委会，ISSN 1000-0887
水波问题是许多工程领域的共性问题，其分析通常在Euler表示下进行[1]，以流速为基本未知量，但往往忽视水波的动力学属性．水波问题也可以位移为基本未知量，通过分析力学的Hamilton变分原理来建立水波方程[2-7]，其特点是能够保辛．最近，文献[8]提出了基于位移表示的水波动力学理论，并给出了线性水波、 浅水波的位移周期行波解．针对一般水深周期行波解， 文献[8]提出了保辛摄动法， 可以直接给出质点粒子的轨迹， 模拟出水面尖锐的周期行波解．
文献[8]提出保辛水波动力学的基本理论，并基于流函数给出了计算质点粒子轨迹的保辛摄动法，而没有涉及到压强的计算．压强是工程师特别关心的物理量，是工程结构安全分析的重要基础．本文将在文献[8]的基础上，研究计算压强的保辛摄动方法．为方便论述，本文所采用的基本符号、变量等均与文献[8]相同，部分公式则直接采用文献[8]中的公式．
本文采用位移描述水波的运动，在水平方向和竖直方向的坐标分别记为(x,z)，时间记为t，水深设为常数，记为h，水底为z=-h．静止水面记为z=0，变形后的水面记为z=w(x,0,t)=η(x,t)．波幅记为η0，即为水面波η(x)的最大值．另外将波高记为A，表示水波波峰与波谷之见的相对高度，即为η(x)的最大值和最小值之差．波长记为L．
以变量u(x,z,t)为例，为表示方便，u(x,z,t)对某个自变量求偏导时，以下标表示．如u(x,z,t)对x和z的偏导分别记为ux和uz．但u(x,z,t)对时间t的偏导记为其余变量的偏导采用相同标记方法．
根据文献[8]，二维无黏水波问题的动能和势能分别为
(1)
和
(2)
其中ρ为水密度，u(x,z,t)和w(x,z,t)分别为水平方向和竖向方向的位移，g为重力加速度．再考虑不可压缩条件，有修正项：
(3)
其中p是压强，也是Lagrange参数，与约束条件为对偶变量．再根据最小作用量原理，推得水波动力学方程可以写为
(4)
其中
(5)
即将压强p分解为重力压强-ρg(z+w)和波动产生的动压强β(x,z,t)之和．水面要求压强为零，则
(6)
如果要分析周期行波解，则令
(7)
于是有
(8)
及边界条件
(9)
假设水是连续的，没有破碎，位移和动压强也是小量，则式(4)中
(10)
显然是比u,w,β高一阶的小量．如果水的晃动很小， 可以视为线性变形的话， 则式(4)可近似为
(11)
以上是线性水波的控制方程，可以精确求解．如果考虑非线性，则可以线性解为零阶近似解，代入fi(i=1,2,3)，于是形成如下的迭代格式：
(12)
其中
(13)
其实式(12)也可以从最小作用量变分原理导出，对应的作用量为
(14)
这表明该迭代是保辛的乘法摄动．每步迭代计算中，都可以通过对式(14)进行离散，然后变分导出线性的微分-代数方程，并采用保辛的祖冲之类算法求解该方程．本文采用线性水波晃荡的振型作为空间离散的基函数，因此相当于在波数域进行离散．对于水底平坦问题的水波晃荡解可参考文献[7]．
分析行波解也可采用乘法迭代方法，此时有
(15)
其中
(16)
式(15)对应于一种变分原理：
(17)
根据变分原理可以推出式(15)．每步迭代计算中，都可以通过对式(15)进行离散，然后变分导出线性方程进行求解．本文采用线性水波的行波解作为空间离散的基函数，因此相当于在波数域进行离散．线性水波的行波解可参考文献[8]．
考虑L=50 m和h=1 m的矩形水池，水密度为ρ=1 000 kg/m3，重力加速度为g=10 m/s2，初始水面形状为
(18)
其中，ξ=x+u(x,0)，α和A为两个形状参数，通过调节α和A可以改变初始水面形状．α或者A越小，初始水面越平坦．该算例在文献[6]中采用浅水方程SWE-DP和祖冲之算法分析过，这里用乘法迭代计算，并与文献[6]中的结果进行比较，以测算本文方法的可靠性，计算时参数选择α=0.1和0.3，A=0.8．用本文方法计算时，空间场取40个水波晃荡的振型进行近似，采用保辛迭代法分析，时间步长取Δt=0.01 s，每次迭代时均采用2阶的保辛算法计算，迭代时要求两次迭代之间的位移差小于10-5．
表1给出了SWE-DP与本文方法计算得到的表面x=25 m处的竖向位移w(25,0,t)和水底x=25 m处的压强p(25,-H,t)在t=1，2，5 s时的计算结果．图1和图2给出了不同参数下，水波在不同时间的形态，以及相应的压强分布．表1中，SWE-DP的计算结果取自文献[6]．本文是完全非线性模型，而SWE-DP采用了浅水假定，两种模型之间存在一定差异，也必然导致在计算浅水波时的结果存在一定的微小差异．由表1可见，两种模型的计算结果差异很小：比较两种模型计算的不同时间竖直方向的位移，最大差异为8%；比较压强，两者之间的最大差异为0.3%．两种模型的计算结果基本吻合，显示了本文方法的正确性．
表1 SWE-DP与本文方法的计算结果对比
Table 1 Comparisons between results computed with the SWE-DP and the proposed method
methodαw(25,0,t)/mt=1 st=2 st=5 sp(25,-H,t)/Pat=1 st=2 st=5 sSWE-DP0.10.040 80.023 4-0.018 610 40110 2339 8170.30.079 6-0.013 3-0.032 010 8759 9159 681this paper method0.10.040 20.022 9-0.018 710 39810 2319 8160.30.077 6-0.014 5-0.033 610 8409 8989 665
(a)t=3 s(b)t=6 s
图1 不同时刻压强分布，α=0.1
Fig. 1 The pressure distributions at different moments,α=0.1
计算行波，取h=1 m．以线性水波的行波解作为空间离散的基函数进行迭代计算，初始迭代时波幅均取为η0=0.1h，波长取L=0.65,1,2,10,15,20 m分别进行计算．当波长由小变大，对应的水波从深水波渐变为浅水波．图3绘制了不同波长下行波的形态， 以及相对应的压强分布．
由图3可见， 本文方法可以统一地给出深水和浅水行波的位移、 形态以及压强分布．L=0.65 m对应的行波很特别，其水波表明存在尖锐的波峰，这实际上是一种涌波(swell wave)．随着波长的增加，水波逐渐从涌波演变为孤立波．当波长相对于水深较小时，水波属于深水波，如图3(a)～3(c)；当波长相对于深水较大时，水波属于浅水波，如图3(d)～3(f)．从压强分布可见：对于深水波，水表面的形态对水底压强分布的影响很小；对于浅水波，水表面的形态对水底压强的影响很大．
(a)t=3 s(b)t=6 s
图2 不同时刻压强分布，α=0.3
Fig. 2 The pressure distributions at different moments,α=0.3
(a)L=0.65 m(b)L=1 m
(c)L=2 m(d)L=10 m
(e)L=15 m(f)L=20 m
图3 不同波长对应的波的形态及压强分布
Fig. 3 The wave shapes and pressure distributions for different wave lengths
对于工程中涉及到的水波问题，压强是需要特别关注的物理量．本文在《保辛水波动力学》一文的基础上，研究了同时考虑位移和压强的保辛摄动方法，该方法以线性水波解作为初试迭代解，然后在每个迭代过程中均通过最小作用量变分原理进行离散，保证每个迭代过程均保辛，由此建立保辛的迭代格式．与《保辛水波动力学》中的不同之处在于，本文方法可以同时计算出位移和压强．具体的数值算例表明，本文方法适用于水波的非线性演化分析，也适用于孤立波、尖锐的涌波等自然界中出现的非线性波的模拟．
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